この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

プラズマ物理の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理プラズマ物理

真空の透磁率を $μ_{0}$ とし、SI 単位系を用いる。円柱座標 $(r, φ, z)$ をとり、半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマが領域 $r < a$ にあるとする。 $r > a$ は真空である。このプラズマは静止した理想 MHD 平衡
$\nabla p = J \times B$
にあり、圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、プラズマの表面で $p (a) = 0$ である。

プラズマには $z$ 方向の電流だけが流れており、その電流密度は
$J_{z} (r) = J_{0} (1 - \frac{r ^{2}}{a ^{2}}) (0 \leq r \leq a)$
である（ $J_{0} > 0$ は定数）。この電流の総量は $I$ （ $I > 0$ ）である。また、外部のコイルによって、プラズマの内外で一様な $z$ 方向の磁場 $B_{0} z^$ （ $B_{0} > 0$ ）がかかっている。プラズマには $φ$ 方向の電流は流れていない。

中心軸上（ $r = 0$ ）でのベータ値
$β (0) = \frac{p ( 0 )}{B ( 0 ) ^{2} / ( 2 μ _{0} )}$
を、 $μ_{0}, I, a, B_{0}$ を用いて表せ。ただし $B (0)$ は $r = 0$ での磁束密度の大きさである。

この問題で使うもの

円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）（説明と入口の問題）
アンペールの法則と重ね合わせ（説明と入口の問題）
磁気圧とベータ値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（103 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$z$ 方向の一様な磁場 $B_{0}$ は力を生じないので、圧力は電流 $J_{z}$ と自身の周方向磁場 $B_{φ}$ の力 $- J_{z} B_{φ} r^$ とつり合う。軸上の全磁場は $B_{0}$ だけである。

ヒント 2

アンペールの法則 $2 π r B_{φ} = μ_{0} I (r)$ で $B_{φ} (r)$ を求め、 $d p / d r = - J_{z} B_{φ}$ を $r = 0$ から $a$ まで積分する。 $J_{0} = 2 I / (π a^{2})$ である。

ヒント 3

$B_{φ} = \frac{μ _{0} J _{0}}{2} r (1 - \frac{r ^{2}}{2 a ^{2}})$ より $p (0) = \frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4} \int_{0}^{1} (1 - u) (1 - u /2) d u$ （ $u = r^{2} / a^{2}$ ）となる。

答えと解説

答えを見る

\frac{5 μ _{0}^{2} I ^{2}}{6 π ^{2} a ^{2} B _{0}^{2}}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. $J_{0}$ を $I$ で表す。 総電流は
$I = \int_{0}^{a} J_{0} (1 - \frac{r ^{2}}{a ^{2}}) 2 π r d r = 2 π J_{0} (\frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{4}) = \frac{π J _{0} a ^{2}}{2}$
より $J_{0} = \frac{2 I}{π a ^{2}}$ 。

2. 周方向の磁場 $B_{φ} (r)$ 。 半径 $r$ の内側の電流は
$I (r) = \int_{0}^{r} J_{0} (1 - \frac{r ^{'2}}{a ^{2}}) 2 π r^{'} d r^{'} = π J_{0} r^{2} (1 - \frac{r ^{2}}{2 a ^{2}})$
系は軸対称なので、半径 $r$ の円にアンペールの法則 $2 π r B_{φ} = μ_{0} I (r)$ を使うと
$B_{φ} (r) = \frac{μ _{0} J _{0}}{2} r (1 - \frac{r ^{2}}{2 a ^{2}})$
一方、 $z$ 方向の磁場は、 $φ$ 方向の電流がないので一様な $B_{0}$ のままである。

3. 力のつり合い。 $J = J_{z} z^$ , $B = B_{φ} φ^+ B_{0} z^$ より $J \times B = J_{z} B_{φ} (z^\times φ^) = - J_{z} B_{φ} r^$ 。一様な $B_{0}$ は力を生じない。よって
$\frac{d p}{d r} = - J_{z} B_{φ} = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2}}{2} r (1 - \frac{r ^{2}}{a ^{2}}) (1 - \frac{r ^{2}}{2 a ^{2}})$

4. $p (0)$ を求める。 $p (a) = 0$ より $p (0) = \int_{0}^{a} (- \frac{d p}{d r}) d r$ 。 $u = r^{2} / a^{2}$ と置くと $r d r = \frac{a ^{2}}{2} d u$ で
$p (0) = \frac{μ _{0} J _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2} \int_{0}^{1} (1 - u) (1 - \frac{u}{2}) d u$
$\int_{0}^{1} (1 - \frac{3}{2} u + \frac{u ^{2}}{2}) d u = 1 - \frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$
より
$p (0) = \frac{5 μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{48} = \frac{5 μ _{0} a ^{2}}{48} \cdot \frac{4 I ^{2}}{π ^{2} a ^{4}} = \frac{5 μ _{0} I ^{2}}{12 π ^{2} a ^{2}}$

5. ベータ値。 軸上では $B_{φ} (0) = 0$ なので $B (0) = B_{0}$ 。したがって
$β (0) = \frac{2 μ _{0} p ( 0 )}{B _{0}^{2}} = \frac{5 μ _{0}^{2} I ^{2}}{6 π ^{2} a ^{2} B _{0}^{2}}$

別解

プラズマ内で $J_{φ} = 0$ なので、 $\nabla \times B$ の $φ$ 成分は $- d B_{z} / d r = μ_{0} J_{φ} = 0$ となり、 $B_{z}$ は $r$ によらず一定である。外側が $B_{0}$ なので内側も $B_{z} = B_{0}$ となる。また $B_{φ} (0) = 0$ なので $B (0) = B_{0}$ 。

総電流は
$I = \int_{0}^{a} J_{0} (1 - r^{2} / a^{2}) 2 π r d r = 2 π J_{0} (a^{2} /2 - a^{2} /4) = π J_{0} a^{2} /2$
より $J_{0} = 2 I / (π a^{2})$ 。

アンペールの法則から
$B_{φ} (r) = \frac{μ _{0}}{r} \int_{0}^{r} J_{z} r^{'} d r^{'} = μ_{0} J_{0} (\frac{r}{2} - \frac{r ^{3}}{4 a ^{2}})$ 。

平衡の $r$ 成分は $d p / d r = (J \times B)_{r} = J_{φ} B_{z} - J_{z} B_{φ} = - J_{z} B_{φ}$ 。

$p (a) = 0$ を境界条件として積分し、 $x = r / a$ とおくと
$p (0) = \int_{0}^{a} J_{z} B_{φ} d r = μ_{0} J_{0}^{2} a^{2} \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (\frac{x}{2} - \frac{x ^{3}}{4}) d x$ 。

被積分関数は $\frac{x}{2} - \frac{3 x ^{3}}{4} + \frac{x ^{5}}{4}$ で、積分すると $\frac{1}{4} - \frac{3}{16} + \frac{1}{24} = \frac{5}{48}$ 。

よって $p (0) = \frac{5}{48} μ_{0} J_{0}^{2} a^{2} = \frac{5}{48} μ_{0} \frac{4 I ^{2}}{π ^{2} a ^{2}} = \frac{5 μ _{0} I ^{2}}{12 π ^{2} a ^{2}}$ 。

したがって
$β (0) = \frac{2 μ _{0} p ( 0 )}{B _{0}^{2}} = \frac{5 μ _{0}^{2} I ^{2}}{6 π ^{2} a ^{2} B _{0}^{2}}$ 。

検算： $x$ の積分を通分すると $(12 - 9 + 2) /48 = 5/48$ となり、上の値と一致する。

プラズマ物理の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題