円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）

$\nabla p = J \times B$ と $\nabla \times B = μ_{0} J$ から、軸方向磁場では $p + \frac{B _{z}^{2}}{2 μ _{0}} =$ 一定、周方向磁場では $\frac{d p}{d r} = - \frac{B _{φ}}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r}$ を立て、与えられた圧力・電流密度の分布から磁場の分布、中心の圧力、断面を貫く磁束などを求められる

前提

磁気圧とベータ値（大学物理プラズマ物理）
勾配・発散・回転（大学数学ベクトル解析）

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算数中学高校大学大学院

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説明

円柱状のプラズマが磁場によって閉じ込められ、時間的に変化しない（静止した）つり合いの状態を、力のつり合い $\nabla p = J \times B$ とアンペールの法則 $\nabla \times B = μ_{0} J$ から調べる技能です。磁場が軸方向 $B_{z} (r)$ だけの配位を θ ピンチ（電流は周方向に流れる）、磁場が周方向 $B_{φ} (r)$ だけの配位を z ピンチ（電流は軸方向に流れる）といいます。どちらも半径 $r$ だけの 1 変数の微分方程式になるので、与えられた電流密度や圧力の分布から、磁場の分布・中心の圧力・断面を貫く磁束などを順に計算できます。

なぜそうしてよいのか

量はすべて半径 $r$ だけの関数とし、 $J \times B$ の半径方向成分と $d p / d r$ を等しくおきます。

θ ピンチ（ $B = B_{z} (r) z^$ ）: 直交座標で $B_{z}$ を $r = x^{2} + y^{2}$ の関数として回転を計算すると、 $\nabla \times B = (\frac{\partial B _{z}}{\partial y}, - \frac{\partial B _{z}}{\partial x}, 0) = \frac{d B _{z}}{d r} (\frac{y}{r}, - \frac{x}{r}, 0) = - \frac{d B _{z}}{d r} φ^$ です（ $φ^= (- y / r, x / r, 0)$ ）。よって周方向の電流 $J_{φ} = - \frac{1}{μ _{0}} \frac{d B _{z}}{d r}$ が流れ、 $φ^\times z^= r^$ より $(J \times B)_{r} = J_{φ} B_{z} = - \frac{1}{μ _{0}} B_{z} \frac{d B _{z}}{d r} = - \frac{d}{d r} (\frac{B _{z}^{2}}{2 μ _{0}})$ 。したがって
$\frac{d}{d r} (p + \frac{B _{z}^{2}}{2 μ _{0}}) = 0 ⟹ p + \frac{B _{z}^{2}}{2 μ _{0}} = 一定$
となります。これは鋭い境界での圧力の釣り合い $p + \frac{B _{i}^{2}}{2 μ _{0}} = \frac{B _{e}^{2}}{2 μ _{0}}$ を、なめらかな分布の各半径に広げたものです。

z ピンチ（ $B = B_{φ} (r) φ^$ ）: 同様に直交座標で計算すると $\nabla \times B = \frac{1}{r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r} z^$ となり、軸方向の電流 $J_{z} = \frac{1}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r}$ が流れます。これは積分形のアンペールの法則 $2 π r B_{φ} = μ_{0} I (r)$ （ $I (r)$ は半径 $r$ の内側を流れる電流）を $r$ で微分したものと同じです。 $z^\times φ^= - r^$ より $(J \times B)_{r} = - J_{z} B_{φ}$ なので
$\frac{d p}{d r} = - \frac{B _{φ}}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r} = - \frac{d}{d r} (\frac{B _{φ}^{2}}{2 μ _{0}}) - \frac{B _{φ}^{2}}{μ _{0} r}$
です。右辺の第 1 項は磁気圧の勾配、第 2 項は曲がった磁力線が軸に向かって締めつける張力の効果で、z ピンチでは $p + B_{φ}^{2} / (2 μ_{0})$ は一定になりません。

手順

配位を見分ける: 磁場が軸方向 $B_{z} (r)$ なら θ ピンチ、周方向 $B_{φ} (r)$ なら z ピンチ。与えられた量（電流密度・圧力・境界の磁場や全電流）と、境界条件（例: プラズマ表面 $r = a$ で $p = 0$ ）を書き出す
磁場の分布を求める: θ ピンチは $\frac{d B _{z}}{d r} = - μ_{0} J_{φ}$ を積分、z ピンチは $B_{φ} (r) = \frac{μ _{0} I ( r )}{2 π r}$ 、 $I (r) = \int_{0}^{r} J_{z} (r^{'}) 2 π r^{'} d r^{'}$ で求める
つり合いの式を立てる: θ ピンチは $p + \frac{B _{z}^{2}}{2 μ _{0}} = 一定$ 、z ピンチは $\frac{d p}{d r} = - \frac{B _{φ}}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r}$
境界条件で定数を決める: θ ピンチは外側の値（ $p = 0$ 、 $B_{z} = B_{e}$ ）で一定値を決め、z ピンチは $\frac{d p}{d r}$ を $r$ から $a$ まで積分して $p (r) = p (a) - \int_{r}^{a} \frac{d p}{d r ^{'}} d r^{'}$ とする
求める量を計算する: 中心の圧力 $p (0)$ 、磁束 $Φ = \int_{0}^{a} B_{z} 2 π r d r$ 、ベータ値などを、文字の与え方（ $J_{0}$ か全電流 $I$ か）に合わせて表す

例題

半径 $a$ の無限に長い円柱プラズマの z ピンチを考える。軸方向に全電流 $I$ が断面内に一様な電流密度で流れており、磁場は周方向成分 $B_{φ} (r)$ だけをもつ。プラズマは静止して $\nabla p = J \times B$ のつり合いにあり、表面 $r = a$ で圧力は $0$ とする。真空の透磁率を $μ_{0}$ として、中心軸上の圧力 $p (0)$ を $μ_{0}, I, a$ で表せ。

例題の解答

手順 1（配位の確認）: 磁場は周方向だけなので z ピンチ。電流密度は $J_{z} = J_{0} = \frac{I}{π a ^{2}}$ （一定）、境界条件は $p (a) = 0$ 。

手順 2（磁場の分布）: $0 \leq r \leq a$ で半径 $r$ の内側の電流は $I (r) = J_{0} π r^{2}$ 。よって
$B_{φ} (r) = \frac{μ _{0} I ( r )}{2 π r} = \frac{μ _{0} J _{0} r}{2} .$

手順 3（つり合いの式）: $r B_{φ} = \frac{μ _{0} J _{0} r ^{2}}{2}$ より $\frac{d ( r B _{φ} )}{d r} = μ_{0} J_{0} r$ 。したがって
$\frac{d p}{d r} = - \frac{B _{φ}}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r} = - \frac{1}{μ _{0} r} \cdot \frac{μ _{0} J _{0} r}{2} \cdot μ_{0} J_{0} r = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2} r}{2} .$

手順 4（境界条件で積分）: $p (a) = 0$ より
$p (r) = 0 - \int_{r}^{a} (- \frac{μ _{0} J _{0}^{2} r ^{'}}{2}) d r^{'} = \frac{μ _{0} J _{0}^{2}}{4} (a^{2} - r^{2}) .$

手順 5（求める量）: $r = 0$ とおき、 $J_{0} = \frac{I}{π a ^{2}}$ を代入すると
$p (0) = \frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4} = \frac{μ _{0}}{4} \cdot \frac{I ^{2}}{π ^{2} a ^{4}} \cdot a^{2} = \frac{μ _{0} I ^{2}}{4 π ^{2} a ^{2}} .$
（参考: 表面の磁場 $B_{a} = \frac{μ _{0} I}{2 π a}$ を使うと $p (0) = \frac{B _{a}^{2}}{μ _{0}}$ で、表面の磁気圧 $\frac{B _{a}^{2}}{2 μ _{0}}$ の 2 倍になる。これは張力の項の寄与による。）

答え: $\frac{μ _{0} I ^{2}}{4 π ^{2} a ^{2}}$

よくある誤り

z ピンチでも $p + \frac{B _{φ}^{2}}{2 μ _{0}} = 一定$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{d p}{d r} = - \frac{d}{d r} (\frac{B _{φ}^{2}}{2 μ _{0}}) - \frac{B _{φ}^{2}}{μ _{0} r}$ で、張力の項 $- \frac{B _{φ}^{2}}{μ _{0} r}$ が加わる（一様電流なら $p (0) = \frac{B _{a}^{2}}{μ _{0}}$ であって $\frac{B _{a}^{2}}{2 μ _{0}}$ ではない）
$B_{φ} (r) = \frac{μ _{0} I}{2 π r}$ をプラズマ内部でも全電流 $I$ のまま使ってしまう誤り。正しくは内側を流れる電流 $I (r) = \int_{0}^{r} J_{z} 2 π r^{'} d r^{'}$ を使い、 $B_{φ} = \frac{μ _{0} I ( r )}{2 π r}$ （一様電流なら $B_{φ} = \frac{μ _{0} I r}{2 π a ^{2}}$ ）
$\frac{d p}{d r}$ を不定積分しただけで積分定数を決めない、あるいは $p (0) = 0$ としてしまう誤り。正しくは境界条件（例: $p (a) = 0$ ）を使って $p (r) = p (a) - \int_{r}^{a} \frac{d p}{d r ^{'}} d r^{'}$ とする。中心の圧力は最大で、 $0$ ではない
θ ピンチで電流の向きと磁場の向きを取り違え、軸方向電流が流れるとしてしまう誤り。正しくは θ ピンチの電流は周方向で $J_{φ} = - \frac{1}{μ _{0}} \frac{d B _{z}}{d r}$ 、プラズマ内で圧力がある分だけ $B_{z}$ は外側より小さく $B_{z} (r) = B_{e}^{2} - 2 μ_{0} p (r)$ となる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（z ピンチ）がある。円柱座標 $(r, φ, z)$ を、円柱の中心軸を $z$ 軸にとって定める。プラズマ中（ $0 \leq r \leq a$ ）には $z$ 軸の正の向きに一様な電流密度 $J_{0} (> 0)$ の電流が流れ、 $r > a$ には電流は流れていない。磁場は電流がつくる周方向成分 $B_{φ} (r)$ だけであり、プラズマは静止した MHD 平衡
$\nabla p = J \times B, \nabla \times B = μ_{0} J$
にあるとする。圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、表面では $p (a) = 0$ とする。真空の透磁率を $μ_{0}$ とする。
中心軸上の圧力 $p (0)$ を、 $μ_{0}$ , $J_{0}$ , $a$ を用いて表せ。

円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題