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プラズマ物理の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理プラズマ物理

半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（z ピンチ）がある。円柱座標 $(r, φ, z)$ を、円柱の中心軸を $z$ 軸にとって定める。プラズマ中（ $0 \leq r \leq a$ ）には $z$ 軸の正の向きに一様な電流密度 $J_{0} (> 0)$ の電流が流れ、 $r > a$ には電流は流れていない。磁場は電流がつくる周方向成分 $B_{φ} (r)$ だけであり、プラズマは静止した MHD 平衡
$\nabla p = J \times B, \nabla \times B = μ_{0} J$
にあるとする。圧力 $p$ は $r$ だけの関数で、表面では $p (a) = 0$ とする。真空の透磁率を $μ_{0}$ とする。

中心軸上の圧力 $p (0)$ を、 $μ_{0}$ , $J_{0}$ , $a$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（103 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「円柱プラズマの MHD 平衡（θ ピンチ・z ピンチ）」を使う。まず電流密度から $B_{φ} (r)$ を求め、次に z ピンチの釣り合いの式を使おう。

ヒント 2

$\frac{1}{r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r} = μ_{0} J_{0}$ から $B_{φ} = \frac{μ _{0} J _{0} r}{2}$ 。釣り合いの式は $\frac{d p}{d r} = - \frac{B _{φ}}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r}$ である。

ヒント 3

代入すると $\frac{d p}{d r} = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2} r}{2}$ となる。これを $0$ から $a$ まで積分し、 $p (a) = 0$ を使えばよい。

答えと解説

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\frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4}

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解説を読む

1. 周方向磁場を求める

$\nabla \times B = μ_{0} J$ の $z$ 成分は $\frac{1}{r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r} = μ_{0} J_{z}$ である（アンペールの法則で半径 $r$ の円を考えても同じ）。 $0 \leq r \leq a$ で $J_{z} = J_{0}$ なので
$\frac{d ( r B _{φ} )}{d r} = μ_{0} J_{0} r$
軸上で $r B_{φ} = 0$ だから、積分して
$r B_{φ} = \frac{μ _{0} J _{0} r ^{2}}{2}, B_{φ} = \frac{μ _{0} J _{0} r}{2}$

2. 圧力の釣り合いの式を立てる

周方向磁場だけのとき、 $\nabla p = J \times B$ の $r$ 成分は
$\frac{d p}{d r} = - J_{z} B_{φ} = - \frac{B _{φ}}{μ _{0} r} \frac{d ( r B _{φ} )}{d r}$
となる。ここに 1 の結果を代入すると
$\frac{d p}{d r} = - \frac{1}{μ _{0} r} \cdot \frac{μ _{0} J _{0} r}{2} \cdot μ_{0} J_{0} r = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2} r}{2}$
電流と周方向磁場がつくる力 $J \times B$ は中心向きで、これを圧力勾配が支えている。

3. 積分して中心の圧力を求める

$r = 0$ から $r = a$ まで積分すると
$p (a) - p (0) = \int_{0}^{a} (- \frac{μ _{0} J _{0}^{2} r}{2}) d r = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2}}{2} \cdot \frac{a ^{2}}{2} = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4}$
$p (a) = 0$ より
$p (0) = \frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4}$

別解

アンペールの法則（半径 $r$ の円周に適用、 $r \leq a$ ）: $2 π r B_{φ} = μ_{0} J_{0} π r^{2}$ より
$B_{φ} (r) = \frac{μ _{0} J _{0} r}{2} .$
力のつり合い $\nabla p = J \times B$ の半径方向成分を考える。 $J = J_{0} z^$ 、 $B = B_{φ} φ^$ で $z^\times φ^= - r^$ なので
$\frac{d p}{d r} = - J_{0} B_{φ} = - \frac{μ _{0} J _{0}^{2}}{2} r .$
積分して $p (r) = p (0) - \frac{μ _{0} J _{0}^{2}}{4} r^{2}$ 。表面の条件 $p (a) = 0$ より
$p (0) = \frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4} .$

検算: 全電流 $I = π a^{2} J_{0}$ を使うと $p (0) = \frac{μ _{0} I ^{2}}{4 π ^{2} a ^{2}} \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{π ^{2} a ^{4}}{π ^{2} a ^{2} \cdot a ^{2}} \dots$ のかわりに、表面の磁場 $B_{a} = \frac{μ _{0} I}{2 π a} = \frac{μ _{0} J _{0} a}{2}$ を用いると $p (0) = \frac{B _{a}^{2}}{μ _{0}} = \frac{μ _{0}^{2} J _{0}^{2} a ^{2}}{4 μ _{0}} = \frac{μ _{0} J _{0}^{2} a ^{2}}{4}$ となり、ベネット関係の形 $p (0) = B_{a}^{2} / μ_{0}$ （一様電流のとき）と一致する。

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