プラズマ物理の問題

電子密度 $n$ の一様な冷たいプラズマ中を、角振動数 $\omega$ の電磁波が伝わる。イオンは動かないとし、電磁波の分散関係は
$${\omega }^2={\omega }_p^2+c^2{k}^2,{\omega }_p^2=\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}$$
で与えられるものとする。ここで $k$ は波数、$c$ は真空中の光速、$e$ は電気素量、$m_e$ は電子の質量、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率である。

この電磁波の位相速度 $v_p=\frac{\omega }{k}$ を測定したところ、$v_p=2c$ であった。電子密度 $n$ を、${\epsilon }_0$, $m_e$, $\omega$, $e$ を用いて表せ。

$x<0$ の領域は真空で、$x\geqq 0$ の領域には電子密度が
$$n(x)=n_0\frac{x}{L}(x\geqq 0)$$
のように $x$ に比例して増える冷たいプラズマがある（$n_0>0$, $L>0$ は定数）。プラズマに磁場はなく、イオンは重いので静止しているとみなし、衝突は無視する。電子の質量を $m_e$、電気素量を $e$、真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、真空中の光速を $c$ とする。このプラズマ中の角振動数 $\omega$ の電磁波（横波）の分散関係は、場所 $x$ での電子プラズマ角振動数 ${\omega }_p(x)=\sqrt{\frac{n(x)e^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$ を使って
$${\omega }^2={\omega }_p(x{)}^2+c^2{k}^2$$
で与えられるとする（$k$ は波数ベクトルの大きさ）。

真空側から、角振動数 $\omega$ の平面電磁波を、$xy$ 面内で $x$ 軸（密度の勾配の向き）と角 $\theta \left(0\leqq \theta <\frac{\pi }{2}\right)$ をなす向きに入射させる。密度の変化は波長に比べて十分ゆるやかで、波は幾何光学（屈折しながら進む光線）で扱えるものとする。波が反射される（光線が $x$ 方向に進まなくなる）位置の $x$ 座標を、${\epsilon }_0$, $m_e$, $\omega$, $\theta$, $L$, $n_0$, $e$ を用いて表せ。

磁場のない一様な冷たい電子プラズマ（イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなす）の中を、角振動数 $\omega$ の横波の電磁波が伝わっている。この電磁波の位相速度を測ったところ、真空中の光速 $c$ の $\frac{5}{4}$ 倍であった。

このプラズマの電子密度 $n_e$ を、$\omega$、電気素量 $e$、電子の質量 $m_e$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ を用いて求めよ。ただし SI 単位系を用い、電磁波の分散関係は
$${\omega }^2={\omega }_{\mathrm{p}}^2+c^2{k}^2,{\omega }_{\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{n_e{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする（$k$ は波数、${\omega }_{\mathrm{p}}$ は電子プラズマ振動数）。衝突と熱運動は無視する。

地上から電離層に向けて電波を斜めに送り、電離層で反射させて遠くと通信する。電離層を、高さ $z$ だけに依存する電子密度 $n(z)$ をもつ水平な層状の冷たいプラズマとみなす。$n(z)$ は電離層の下端（$n=0$）から上へ向かって単調に増え、最大値 $n_{\max }=1.0\times 10^{12}{\text{m}}^{-3}$ に達する。電離層より下は真空とみなす。

地磁気・衝突・イオンの運動・地球の曲率は無視し、角振動数 $\omega$ の電磁波に対するプラズマの屈折率は
$$N=\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}},{\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$ とし、$\pi =3.14$ とする。

電波を鉛直方向と $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射させるとき、電離層で反射されて地上に戻る電波の周波数 $f=\omega /(2\pi )$ の最大値は何 $\text{MHz}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

$xyz$ 直交座標で、磁場がつねに $z$ 軸の正の向きを向き、その大きさが
$$B(x)=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)$$
で与えられる静磁場がある（$B_0>0$, $L>0$ は定数）。電場はない。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、案内中心が $x=0$ の位置にある状態で磁場のまわりを旋回しており、磁場に垂直な方向の運動エネルギーは $W_{\perp }$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、勾配ドリフトの公式
$${\mathbf{v}}_{\nabla B}=\frac{W_{\perp }}{q{B}^3}\mathbf{B}\times \nabla B$$
が使えるものとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が $x=0$ にあるときの勾配ドリフト速度の $y$ 成分を、$W_{\perp }$, $q$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。