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プラズマ物理の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理プラズマ物理

$x < 0$ の領域は真空で、 $x ≧ 0$ の領域には電子密度が
$n (x) = n_{0} \frac{x}{L} (x ≧ 0)$
のように $x$ に比例して増える冷たいプラズマがある（ $n_{0} > 0$ , $L > 0$ は定数）。プラズマに磁場はなく、イオンは重いので静止しているとみなし、衝突は無視する。電子の質量を $m_{e}$ 、電気素量を $e$ 、真空の誘電率を $ε_{0}$ 、真空中の光速を $c$ とする。このプラズマ中の角振動数 $ω$ の電磁波（横波）の分散関係は、場所 $x$ での電子プラズマ角振動数 $ω_{p} (x) = \frac{n ( x ) e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ を使って
$ω^{2} = ω_{p} (x)^{2} + c^{2} k^{2}$
で与えられるとする（ $k$ は波数ベクトルの大きさ）。

真空側から、角振動数 $ω$ の平面電磁波を、 $x y$ 面内で $x$ 軸（密度の勾配の向き）と角 $θ (0 ≦ θ < \frac{π}{2})$ をなす向きに入射させる。密度の変化は波長に比べて十分ゆるやかで、波は幾何光学（屈折しながら進む光線）で扱えるものとする。波が反射される（光線が $x$ 方向に進まなくなる）位置の $x$ 座標を、 $ε_{0}$ , $m_{e}$ , $ω$ , $θ$ , $L$ , $n_{0}$ , $e$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

密度が変化するプラズマでの電磁波の反射（説明と入口の問題）
電磁波の遮断と遮断密度（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（182 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

プラズマは $y$ 方向に一様なので、光線に沿って保存される量がある。スネルの法則と同じ考え方を使おう。

ヒント 2

波数の $y$ 成分 $k_{y} = (ω / c) sin θ$ は一定。分散関係から $c^{2} k_{x}^{2} = ω^{2} - ω_{p}^{2} - c^{2} k_{y}^{2}$ となる。

ヒント 3

反射点では $k_{x} = 0$ 、すなわち $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$ が成り立つ。

答えと解説

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\frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2} L cos ^{2} θ}{n _{0} e ^{2}}

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解説を読む

1. 波数の $y$ 成分の保存

プラズマの性質は $x$ だけに依存し、 $y$ 方向には一様である。このため、波の位相の $y$ 方向の変化はどこでも同じでなければならず（境界での位相の連続性。光のスネルの法則と同じ理由）、波数ベクトルの $y$ 成分 $k_{y}$ は光線に沿って一定に保たれる。真空中では $k = ω / c$ なので
$k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$

2. 波数の $x$ 成分

分散関係 $ω^{2} = ω_{p} (x)^{2} + c^{2} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2})$ より
$c^{2} k_{x}^{2} = ω^{2} - ω_{p} (x)^{2} - c^{2} k_{y}^{2} = ω^{2} cos^{2} θ - ω_{p} (x)^{2}$
密度が増えると $ω_{p} (x)$ が大きくなり $k_{x}^{2}$ は小さくなる。 $k_{x} = 0$ となる位置で光線は $x$ 方向に進まなくなり（ $y$ 方向に進む向きになり）、そこから引き返す。これが反射点（遮断点）である。

3. 反射点の位置

反射点 $x_{r}$ では
$ω_{p} (x_{r})^{2} = ω^{2} cos^{2} θ ⟺ \frac{n _{0} x _{r}}{L} \cdot \frac{e ^{2}}{ε _{0} m _{e}} = ω^{2} cos^{2} θ$
よって
$x_{r} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2} L cos ^{2} θ}{n _{0} e ^{2}}$

（参考: 垂直入射 $θ = 0$ では、 $ω_{p} = ω$ となる遮断密度 $n_{c} = ε_{0} m_{e} ω^{2} / e^{2}$ の位置で反射する。斜めに入射すると、それより手前の密度 $n_{c} cos^{2} θ$ の位置で反射する。）

別解

密度は $x$ のみに依存するので、 $y$ 方向の波数 $k_{y}$ は保存される（スネルの法則）。真空中（ $x < 0$ ）では $k = ω / c$ で、入射角 $θ$ より $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ 。\n\nプラズマ中で分散関係 $ω^{2} = ω_{p} (x)^{2} + c^{2} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2})$ より\n $c^{2} k_{x}^{2} = ω^{2} - ω_{p} (x)^{2} - ω^{2} sin^{2} θ = ω^{2} cos^{2} θ - ω_{p} (x)^{2}$ 。\n\n光線が $x$ 方向に進まなくなる（反射点）のは $k_{x} = 0$ のとき。すなわち $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$ 。\n $ω_{p}^{2} = \frac{n _{0} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}} \frac{x}{L}$ なので\n $\frac{n _{0} e ^{2}}{ε _{0} m _{e}} \frac{x}{L} = ω^{2} cos^{2} θ$ より\n $x = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2} L c o s ^{2} θ}{n _{0} e ^{2}}$ 。\n\n検算: $θ = 0$ では $ω = ω_{p} (x)$ すなわち遮断密度の位置で反射され、斜め入射ほど手前（ $cos^{2} θ$ 倍）で反射される。これは既知の結果と一致する。また $x > 0$ の位置なので $θ < π /2$ で $x > 0$ となり妥当。

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