密度が変化するプラズマでの電磁波の反射

密度がゆるやかに変化するプラズマで、境界に平行な波数成分 $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ が保存することを使い、斜めに入射した電磁波が反射される位置の条件 $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$ から反射点の位置を求められる

前提

電磁波の遮断と遮断密度（大学物理プラズマ物理）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
電流の微視的モデル（高校物理電流と回路）
プラズマ中の電磁波（大学物理電磁波と電磁場）
逆関数・陰関数・媒介変数表示の微分（数学III 微分法）
分散関係と群速度（大学物理振動・波動）
電磁波の遮断と遮断密度（大学物理プラズマ物理）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）

説明

電子密度が場所 $x$ とともにゆるやかに増えていくプラズマに、電磁波を斜めに入射させたとき、波がどこまで進んで折り返す（反射される）かを求める技能です。境界に平行な方向の波数 $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ が途中で変わらないことを使うと、反射点の条件は $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$ 、つまり密度が遮断密度の $cos^{2} θ$ 倍になる位置になります。電離層での電波の反射や、マイクロ波によるプラズマ密度の計測（反射計）などで使います。

なぜそうしてよいのか

密度が $x$ だけの関数 $n (x)$ で、 $y$ 方向には一様だとします。真空（ $x < 0$ ）から入射角 $θ$ （ $x$ 軸となす角）で角周波数 $ω$ の電磁波が入ると、真空中の波数は $\frac{ω}{c}$ なので、境界に平行な成分は $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ です。媒質が $y$ 方向に一様なら、どの $x$ でも波の山の並びが境界に沿ってそろっていなければならず（そろわないと境界面で場がつながらない）、 $k_{y}$ は $x$ によらず一定に保たれます。これは屈折の法則 $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ と同じ内容で、プラズマの屈折率 $N (x) = \frac{c k}{ω} = 1 - \frac{ω _{p} ( x ) ^{2}}{ω ^{2}}$ を使えば $N (x) sin θ (x) = sin θ$ となります。

各位置の分散関係 $ω^{2} = ω_{p} (x)^{2} + c^{2} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2})$ に $k_{y}$ を代入すると
$k_{x} (x)^{2} = \frac{ω ^{2} - ω _{p} ( x ) ^{2}}{c ^{2}} - \frac{ω ^{2} sin ^{2} θ}{c ^{2}} = \frac{ω ^{2} cos ^{2} θ - ω _{p} ( x ) ^{2}}{c ^{2}}$
です。密度が増えると $ω_{p}^{2} = \frac{n e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ が増えて $k_{x}^{2}$ が小さくなり、 $k_{x} = 0$ になった所で波は $x$ 方向に進めなくなって向きを変え、戻っていきます。その先では $k_{x}^{2} < 0$ となり、波は進めずに減衰します。したがって反射点は
$ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} θ ⟺ n (x) = n_{c} cos^{2} θ (n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}})$
です。垂直入射（ $θ = 0$ ）なら遮断密度 $n_{c}$ の位置で反射しますが、斜め入射ではそれより手前の、密度の低い位置で反射します。

なお「ゆるやか」とは、密度の変化する長さが波長より十分長いことです。このとき途中の部分反射は無視でき、各位置で一様なプラズマの分散関係をそのまま使えます。

手順

入射波の条件を確認する: 角周波数 $ω$ 、入射角 $θ$ （密度勾配の方向 $x$ となす角）、密度分布 $n (x)$ または $ω_{p} (x)^{2} = \frac{n ( x ) e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$
境界に平行な波数を書く: $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ （どの $x$ でも一定）
各位置で $k_{x}^{2}$ を求める: $k_{x}^{2} = \frac{ω ^{2} cos ^{2} θ - ω _{p} ( x ) ^{2}}{c ^{2}}$
反射条件 $k_{x} = 0$ 、すなわち $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$ （ $n (x) = n_{c} cos^{2} θ$ ）を立てる
密度分布に代入して $x$ について解き、反射点の位置を求める（密度が単調に増える場合は、入射側から見て最初にこの条件を満たす位置）

例題

$x < 0$ は真空、 $x \geq 0$ は電子密度が $n (x) = n_{c} \frac{x}{L}$ （ $L > 0$ は定数）と直線的に増えるプラズマである。ここで $n_{c}$ は角周波数 $ω$ の電磁波に対する遮断密度で、プラズマ角周波数は $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} \frac{n ( x )}{n _{c}}$ と表せる。真空側から角周波数 $ω$ の電磁波が、 $x$ 軸となす角 $θ = \frac{π}{3}$ で入射する。密度の変化は波長に比べて十分ゆるやかとし、イオンの運動と磁場は無視する。電磁波が反射される位置の $x$ 座標を $L$ で表せ。

例題の解答

手順 1（条件の確認）: $θ = \frac{π}{3}$ 、 $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} \frac{x}{L}$ （ $x \geq 0$ ）。

手順 2（平行な波数）: $k_{y} = \frac{ω}{c} sin \frac{π}{3} = \frac{3 ω}{2 c}$ はどの $x$ でも一定。

手順 3（ $k_{x}^{2}$ ）:
$k_{x}^{2} = \frac{ω ^{2} cos ^{2} θ - ω _{p} ( x ) ^{2}}{c ^{2}} = \frac{ω ^{2}}{c ^{2}} (\frac{1}{4} - \frac{x}{L}) .$

手順 4（反射条件）: $k_{x} = 0$ より $ω_{p} (x)^{2} = ω^{2} cos^{2} \frac{π}{3} = \frac{ω ^{2}}{4}$ 、すなわち $n (x) = \frac{n _{c}}{4}$ 。

手順 5（位置を求める）: $ω^{2} \frac{x}{L} = \frac{ω ^{2}}{4}$ より $x = \frac{L}{4}$ 。 $0 \leq x < \frac{L}{4}$ では $k_{x}^{2} > 0$ で波は進めるので、ここが最初に $k_{x} = 0$ となる反射点である（垂直入射なら $x = L$ で反射するが、斜め入射ではより手前で反射する）。

答え: $\frac{L}{4}$

よくある誤り

斜め入射でも遮断密度 $n_{c}$ の位置（ $ω_{p} = ω$ ）で反射するとしてしまう誤り。正しくは境界に平行な波数 $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ の分だけ $k_{x}$ が早く $0$ になり、 $ω_{p}^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$ 、すなわち $n = n_{c} cos^{2} θ$ の位置で反射する
反射条件を $ω_{p} = ω cos θ$ として密度を $n_{c} cos θ$ としてしまう誤り。密度に比例するのは $ω_{p}^{2}$ なので、正しくは $\frac{n}{n _{c}} = \frac{ω _{p}^{2}}{ω ^{2}} = cos^{2} θ$
入射角を境界面となす角と取り違え、 $cos^{2} θ$ と $sin^{2} θ$ を入れ替えてしまう誤り。 $θ$ を密度勾配の方向（境界の法線）となす角とするとき、保存するのは $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ で、反射条件は $ω_{p}^{2} = ω^{2} cos^{2} θ$
プラズマ中でも $k_{y}$ が局所的な波数で変わるとして、 $k_{y} = \frac{ω}{c} N (x) sin θ$ の $θ$ を入射角のまま使ってしまう誤り。正しくは $N (x) sin θ (x) = sin θ$ （入射角）が一定で、 $k_{y} = \frac{ω}{c} sin θ$ は真空中の入射角で決まる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
$x < 0$ は真空、 $x \geq 0$ はプラズマで、プラズマの電子密度は $x$ だけに依存し、
$n (x) = n_{c} \frac{x}{L} (x \geq 0)$
とゆるやかに増加している（ $L > 0$ は定数）。ここで $n_{c} = \frac{ε _{0} m _{e} ω ^{2}}{e ^{2}}$ は角振動数 $ω$ の電磁波に対する遮断密度であり、 $ε_{0}$ は真空の誘電率、 $m_{e}$ は電子の質量、 $e$ は電気素量である。プラズマ中の電磁波の局所的な分散関係は $ω^{2} = ω_{p} (x)^{2} + c^{2} (k_{x}^{2} + k_{y}^{2})$ 、 $ω_{p} (x)^{2} = \frac{n ( x ) e ^{2}}{ε _{0} m _{e}}$ で与えられ、イオンは動かず、磁場はないものとする。 $c$ は真空中の光速である。
真空側から角振動数 $ω$ の電磁波が、 $x y$ 平面内で $x$ 軸の正の向きと $6 0^{\circ}$ の角をなす向きに入射した。電磁波が反射される位置（ $k_{x} = 0$ となる位置）の $x$ 座標を、 $L$ を用いて表せ。

密度が変化するプラズマでの電磁波の反射

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題