プラズマ物理の問題

$xyz$ 直交座標で、磁場がつねに $z$ 軸の正の向きを向き、その大きさが
$$B(x)=B_0\left(1+\frac{x}{L}\right)$$
で与えられる静磁場がある（$B_0>0$, $L>0$ は定数）。電場はない。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、案内中心が $x=0$ の位置にある状態で磁場のまわりを旋回しており、磁場に垂直な方向の運動エネルギーは $W_{\perp }$ である。磁場に平行な速度成分は $0$ とする。ラーマー半径は $L$ に比べて十分小さく、勾配ドリフトの公式
$${\mathbf{v}}_{\nabla B}=\frac{W_{\perp }}{q{B}^3}\mathbf{B}\times \nabla B$$
が使えるものとする。重力と相対論的効果は無視する。

案内中心が $x=0$ にあるときの勾配ドリフト速度の $y$ 成分を、$W_{\perp }$, $q$, $B_0$, $L$ を用いて表せ。

$xyz$ 直交座標で、平面 $y=0$ を境に磁場が不連続に変わっている。$y>0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な磁場が、$y<0$ の領域には $z$ 軸の正の向きに大きさ $2B$ の一様な磁場がある（$B>0$）。電場はない。

質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を $y$ 軸の正の向きに速さ $v$ で通過した。粒子は $xy$ 平面内で、2 つの領域の円弧を交互にたどりながら境界に沿って移動していく。重力と相対論的効果は無視する。

粒子が $y>0$ の領域で 1 回、$y<0$ の領域で 1 回の円弧を描いて、再び原点を通過したときと同じ向き（$y$ 軸の正の向き）で境界を通過するまでを 1 周期とする。1 周期にわたって平均した粒子の速度の $x$ 成分を、$v$ を用いて表せ。

$z$ 軸の正の向きに大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点を $x$ 軸の正の向きに速さ $v_0$ で通過した。粒子には、ローレンツ力 $q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ のほかに、衝突による抵抗力 $-m\nu \mathbf{v}$（$\nu >0$ は定数の衝突周波数）がはたらき、ほかの力（重力など）は無視できるとする。相対論的効果は無視する。${\omega }_c=\frac{qB}{m}$ とおく。

粒子は $xy$ 平面内を運動し、やがて止まる。粒子が止まるまでに到達する点の座標 $(X,Y)$ を、$v_0$, $\nu$, ${\omega }_c$ を用いて $(X,Y)$ の順の組で表せ。

真空中に、大きさ $B$ の一様な静磁場がある。質量 $m$、電気量 $q(q>0)$ の荷電粒子が、磁場の向きと $60^{\circ }$ の角をなす向きに速さ $v$ で入射した。粒子にはたらく力は磁場からのローレンツ力だけとし、重力は無視する。また、相対論的効果は無視する。

この粒子はらせん運動をする。らせんのピッチ（粒子が 1 回旋回する間に磁場の方向に進む距離）を、$m$, $q$, $B$, $v$ を用いて表せ。

真空中に、一様な磁場で閉じ込められたプラズマの柱がある。プラズマと外側の真空は鋭い境界で接しており、境界は静止して力学的に釣り合っている。境界の外側（真空）の磁場は一様で大きさ $B_e$、境界の内側（プラズマ中）の磁場は一様で大きさ $B_i$ であり、どちらも境界面に平行である。プラズマ中の圧力は一様で $p$ であり、真空中の圧力は $0$ とする。真空の透磁率を ${\mu }_0$ とし、$0<2{\mu }_{0}p<B_e^2$ とする。

プラズマ中の磁場の大きさ $B_i$ を、$B_e$, $p$, ${\mu }_0$ を用いて表せ。