プラズマ物理の問題

SI 単位系を用いる。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、電気素量を $e$（$e>0$）、ボルツマン定数を $k_B$ とする。指数関数は $\exp$ で表す。

電子と 2 価の陽イオン（電荷 $2e$）からなる一様な電離プラズマがある。外から何も加えないとき、電子の数密度は $n_0$、イオンの数密度は $\frac{n_0}{2}$ で、プラズマは電気的に中性である。電子は温度 $T_e$、イオンは温度 $T_i=\frac{T_e}{4}$ の熱平衡にあり、静電ポテンシャル $\varphi$ の中で電子とイオンの数密度はそれぞれボルツマン分布
$$n_e=n_0\exp \left(\frac{e\varphi }{k_B{T}_e}\right),n_i=\frac{n_0}{2}\exp \left(-\frac{2e\varphi }{k_B{T}_i}\right)$$
に従うとする（$\varphi$ の基準は無限遠で $\varphi =0$）。

このプラズマの中の原点に点電荷 $Q$ を置き、十分時間がたって定常状態になった。プラズマパラメータ（デバイ球の中の粒子数）は 1 より十分大きく、電荷密度は連続的に扱えるものとする。また、原点の近くを除いて $|2e\varphi |\ll k_B{T}_i$ が成り立ち、ボルツマン因子は $\varphi$ について 1 次まで展開してよい。ポテンシャルは球対称で、$r\to 0$ で $\varphi (r)\to \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$、$r\to \infty$ で $\varphi \to 0$ を満たすとする。

電子だけで決まるデバイ長を
$${\lambda }_{De}=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$$
とする。原点から距離 $r={\lambda }_{De}$ の点での $\varphi$ と、同じ点にプラズマがない場合の真空中のクーロンポテンシャル $\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\lambda }_{De}}$ との比
$$\frac{\varphi ({\lambda }_{De})}{\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{\lambda }_{De}}}$$
を、$\exp$ を用いた正確な値で求めよ。

$x$ 軸に垂直な、十分に広い 2 枚の平板電極を $x=0$ と $x=d$ に置き、その間（$0<x<d$）を一様なプラズマで満たす。電極 $x=0$ の電位を ${\varphi }_0$（${\varphi }_0>0$）、電極 $x=d$ の電位を $0$ に保つ。電位 $\varphi$ は $x$ だけの関数である。

プラズマは次のようにふるまうものとする。
- イオン（電荷 $+e$）は動かず、その密度は一様に $n_0$ である
- 電子（電荷 $-e$）は温度 $T_e$ の熱平衡にあり、密度はボルツマン分布 $n_e(x)=n_0\exp \left(\frac{e\varphi (x)}{k_B{T}_e}\right)$ に従う
- $0\le x\le d$ のすべての点で $e|\varphi |\ll k_B{T}_e$ が成り立ち、$n_e$ は $\varphi$ について 1 次まで近似してよい

電子のデバイ長を ${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_B{T}_e}{n_0{e}^2}}$ とし（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、$k_B$ はボルツマン定数）、電極間隔はデバイ長を用いて $d={\lambda }_D\log 3$ と表されるとする（$\log$ は自然対数）。

電極間のプラズマ中にある空間電荷の、電極の単位面積あたりの総量 $Q={\int }_0^d\rho (x)dx$（$\rho$ は電荷密度）を、${\epsilon }_0,{\varphi }_0,d$ を用いて求めよ（${\lambda }_D$ は答えに含めないこと）。

一様なプラズマの中に、点電荷 $q$（$q>0$）の試験電荷を原点に置く。プラズマの電荷が再配置して試験電荷が遮蔽された結果、原点からの距離 $r$（$r>0$）での静電ポテンシャルは、デバイ長 ${\lambda }_D$ を用いて
$$\varphi (r)=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\exp \left(-\frac{r}{{\lambda }_D}\right)$$
で与えられるとする（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率、SI 単位系）。

原点を中心とする半径 ${\lambda }_D$ の球の内部にあるプラズマの遮蔽電荷（試験電荷 $q$ を除いた、プラズマが再配置してできた電荷の総和）を $Q_{\mathrm{s}}$ とする。比 $\frac{Q_{\mathrm{s}}}{q}$ を正確な値で求めよ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が $z$ 軸に沿って静止しており、その外側 $r>a$ は真空である。磁場は $z$ 成分だけをもち $\mathbf{B}=B(r)\hat{\mathbf{z}}$ と書け、$r\geqq a$ では一様で $B(r)=B_0$（$B_0>0$）である。プラズマの圧力（電子とイオンの圧力の和）は
$$p(r)=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\leqq r\leqq a)$$
で、$r>a$ では $p=0$ である。プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\mathbf{J}\times \mathbf{B}=\nabla p$, $\nabla \times \mathbf{B}={\mu }_0\mathbf{J}$ を満たすものとし（${\mu }_0$ は真空の透磁率）、$B(r)$ は $r$ について連続で、$0\leqq r\leqq a$ で $B(r)>0$ とする。

外部磁場で測った中心のベータ値を
$${\beta }_0=\frac{p_0}{B_0^2/(2{\mu }_0)}(0<{\beta }_0<1)$$
と定義する。プラズマ柱の断面 $r<a$ を貫く磁束 $\Phi$ と、プラズマがない場合の同じ断面の磁束 $\pi a^2{B}_0$ の比 $\frac{\Phi }{\pi a^2{B}_0}$ を ${\beta }_0$ を用いて表せ。

円柱座標 $(r,\phi ,z)$ をとる。$z$ 軸を中心軸とする半径 $a$ の無限に長い円柱状のプラズマ（$r<a$）が静止した平衡状態にあり、その外側 $r>a$ は真空である（z ピンチ）。プラズマには $z$ 方向の電流が流れ、その電流密度は
$$J_z(r)=J_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)(0\le r\le a)$$
（$J_0>0$ は定数）である。磁場はこの電流がつくる $\phi$ 成分 $B_{\phi }(r)$ だけで、外部からかけた磁場はない。

プラズマは理想 MHD の静的平衡 $\nabla p=\mathbf{J}\times \mathbf{B}$ をみたし、圧力 $p(r)$ は $r$ だけの関数で、表面で $p(a)=0$ とする。SI 単位系を用い、真空の透磁率を ${\mu }_0$ とする。

中心軸上の圧力 $p(0)$ を、プラズマ表面での磁気圧 $\frac{B_{\phi }(a{)}^2}{2{\mu }_0}$ と比べた量
$${\beta }_0=\frac{2{\mu }_{0}p(0)}{B_{\phi }(a{)}^2}$$
を、分数で求めよ。