プラズマ物理の問題

磁場のない一様な冷たいプラズマがあり、電子密度は $n_e=1.00\times 10^{18}{\mathrm{m}}^{-3}$ である。このプラズマの中を、周波数 $f=15.0\mathrm{GHz}$ のマイクロ波（横波の電磁波）が伝わる。マイクロ波の群速度の大きさを $m/s$ 単位で有効数字 3 桁で求めよ。

ただし、イオンは重いので動かないとし、電子の熱運動と衝突は無視する。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、真空中の光速 $c=3.00\times 10^{8}m/s$、$\pi =3.1416$ とする。

磁場のない一様な冷たい電子プラズマ（イオンは動かない一様な正電荷の背景とみなす）の中を、角振動数 $\omega$ の横波の電磁波が伝わっている。この電磁波の位相速度を測ったところ、真空中の光速 $c$ の $\frac{5}{4}$ 倍であった。

このプラズマの電子密度 $n_e$ を、$\omega$、電気素量 $e$、電子の質量 $m_e$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0$ を用いて求めよ。ただし SI 単位系を用い、電磁波の分散関係は
$${\omega }^2={\omega }_{\mathrm{p}}^2+c^2{k}^2,{\omega }_{\mathrm{p}}=\sqrt{\frac{n_e{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする（$k$ は波数、${\omega }_{\mathrm{p}}$ は電子プラズマ振動数）。衝突と熱運動は無視する。

一様な電子-イオンプラズマが熱平衡にあり、電子温度は $k_{\mathrm{B}}{T}_e=5.0\mathrm{eV}$ である。このプラズマのデバイ長は電子の寄与だけで決まるとし（イオンの寄与は無視する）、
$${\lambda }_D=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0{k}_{\mathrm{B}}{T}_e}{n_e{e}^2}}$$
で与えられるものとする。ここで $n_e$ は電子密度である。デバイ球（半径 ${\lambda }_D$ の球）の中に含まれる電子の個数
$$N_D=\frac{4\pi }{3}{n}_e{\lambda }_D^3$$
を測定したところ、$N_D=1.0\times 10^4$ であった。このときの電子密度 $n_e$ を、単位を ${\mathrm{m}}^{-3}$ として有効数字 2 桁で求めよ。SI 単位系を用い、真空の誘電率を ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}F/m$、電気素量を $e=1.60\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$1\mathrm{eV}=1.60\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

地上から電離層に向けて電波を斜めに送り、電離層で反射させて遠くと通信する。電離層を、高さ $z$ だけに依存する電子密度 $n(z)$ をもつ水平な層状の冷たいプラズマとみなす。$n(z)$ は電離層の下端（$n=0$）から上へ向かって単調に増え、最大値 $n_{\max }=1.0\times 10^{12}{\text{m}}^{-3}$ に達する。電離層より下は真空とみなす。

地磁気・衝突・イオンの運動・地球の曲率は無視し、角振動数 $\omega$ の電磁波に対するプラズマの屈折率は
$$N=\sqrt{1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2}},{\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_0{m}_e}}$$
で与えられるものとする。電気素量 $e=1.60\times 10^{-19}\text{C}$、電子の質量 $m_e=9.11\times 10^{-31}\text{kg}$、真空の誘電率 ${\epsilon }_0=8.85\times 10^{-12}\text{F/m}$ とし、$\pi =3.14$ とする。

電波を鉛直方向と $60^{\circ }$ の角をなす向きに入射させるとき、電離層で反射されて地上に戻る電波の周波数 $f=\omega /(2\pi )$ の最大値は何 $\text{MHz}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

電子と 1 価の陽イオン（水素イオン）からなる一様なプラズマが、一様な磁場（磁束密度の大きさ $B$）の中に閉じ込められている。プラズマは電気的に中性であり、電子密度とイオン密度はどちらも $n=1.00\times 10^{20}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子温度とイオン温度はどちらも $10.0\mathrm{keV}$（すなわち $k_B{T}_e=k_B{T}_i=10.0\mathrm{keV}$）である。電子とイオンはそれぞれ理想気体とみなし、プラズマの圧力は電子の圧力とイオンの圧力の和とする。

プラズマのベータ値を
$$\beta =\frac{p}{B^2/(2{\mu }_0)}$$
で定義する（$p$ はプラズマの圧力、$B^2/(2{\mu }_0)$ は磁気圧）。$\beta =0.0400$ となるために必要な磁束密度の大きさ $B$ は何 T か。有効数字 3 桁で求めよ。

SI 単位系を用い、電気素量を $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$（$1\mathrm{eV}=1.602\times 10^{-19}\mathrm{J}$）、真空の透磁率を ${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}H/m$ とする。