振動・波動の問題

質量 $M$ の同じ原子が、直線上に間隔 $a$ で無限に並んでいる（$M>0$, $a>0$）。隣り合う原子どうしだけが、ばね定数 $K(K>0)$ の軽いばねでつながれており、原子は直線に沿った方向にだけ微小振動する。$n$ 番目の原子のつり合いの位置からの変位を $u_n$ とすると、運動方程式は
$$M{\ddot{u}}_n=K(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1})(n\text{ は整数})$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$, $\omega >0$）を考える。波数が $k=\frac{\pi }{2a}$ のときの、群速度 $v_{\mathrm{g}}=\frac{d\omega }{dk}$ と位相速度 $v_{\mathrm{p}}=\frac{\omega }{k}$ の比 $\frac{v_{\mathrm{g}}}{v_{\mathrm{p}}}$ を求めよ。

水平でなめらかなレールに沿って一直線上を動ける質量 $m$ の台があり、台はばね定数 $k$ のばねで壁につながれている。台の点 P から長さ $l$ の軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるし、小球はレールを含む鉛直面内で振れる。台の位置（ばねが自然長のときからの変位、レールに沿って右向きを正）を $x$、糸が鉛直線となす角を $\theta$ とする。重力加速度の大きさを $g$ とし、ばね定数は $k=\frac{mg}{l}$ であるとする。空気抵抗・摩擦・糸とばねの質量は無視する。

$x$, $\theta$ が十分小さい微小振動を考え、$x,\theta ,\dot{x},\dot{\theta }$ について 2 次までの近似でラグランジアンを書くとき、この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とする。比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

質量 $m$ の等しい質点が、ばね定数 $K$ の等しいばねで一直線上に無限に並んでつながれている（1 次元の単原子格子、$m>0$, $K>0$）。つり合いの位置での隣り合う質点の間隔は $a$（$a>0$）である。$n$ 番目の質点のつり合いの位置からの変位を $u_n(t)$ とすると、運動方程式は
$$m\frac{d^2{u}_n}{d{t}^2}=K\left(u_{n+1}-2u_n+u_{n-1}\right)$$
である。

この格子を伝わる波 $u_n(t)=A\cos (kna-\omega t)$（$A\ne 0$、$\omega >0$、波数 $k$ は $0<k\le \pi /a$）を考える。波長が $3a$ の波について、群速度 $v_g$ と位相速度 $v_p$ の比 $\frac{v_g}{v_p}$ を求めよ。答えは根号と $\pi$ を用いた正確な値で答えよ。

なめらかな水平面上で、ばね（ばね定数は未知）で壁につながれた物体（質量は未知）が一直線上を運動する。物体には速度に比例する抵抗力（比例定数は未知）がはたらく。物体の位置 $x$ はばねが自然長のときを原点とする。

まず外力を加えずに物体を振動させたところ、物体は減衰振動をし、$x$ が極大になる時刻の間隔は $T_d$ で一定であり、続けて現れる 2 つの極大値の比（後の極大値 ÷ 前の極大値）は $r$ で一定であった。ただし $e^{-2\pi }<r<1$ とする。

次に、同じ物体に外力 $F_0\cos \omega t$（$F_0>0$ は一定、$\omega >0$）を加え、十分に時間がたった後の定常振動の振幅を $\omega$ の関数として調べる。振幅が最大となる角振動数 $\omega$ を、$T_d$ と $r$ を用いて表せ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $2m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A、A と B、B と右の壁が、それぞればね定数 $k$ の 3 本のばねでつながれている。つり合いの位置ではどのばねも自然長であり、A, B はばねの方向（一直線上）にだけ運動するものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とするとき、比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。