屈折波と地殻の厚さ

走時曲線から求めた $V_{1}$ , $V_{2}$ , $x_{c}$ と式 $H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ 、あるいは臨界角で屈折する経路の走時の式から、地殻の厚さを求められる

前提

走時曲線の読み取り（高校地学地震と火山）
屈折の法則と屈折率（高校物理波動）

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算数中学高校大学大学院

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屈折の法則と屈折率（高校物理波動）

説明

走時曲線から読み取った地殻の P 波の速さ $V_{1}$ 、マントル最上部の P 波の速さ $V_{2}$ 、直接波と屈折波の走時曲線が交わる距離 $x_{c}$ を使うと、地殻の厚さ（地表からモホ面までの深さ） $H$ を計算できます。もとになるのは、屈折波が地殻とマントルの境界（モホ面）に臨界角で入射し、境界のすぐ下を進んでから地表に戻るという経路です。この経路の走時を式で表し、交点で直接波の走時と等しいとおくと $H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ が得られます。人工地震などの観測から、地下の構造を調べるときに使う考え方です。

なぜそうしてよいのか

臨界角 屈折の法則 $n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2}$ に、媒質中の速さ $v = \frac{c}{n}$ （ $n = \frac{c}{v}$ ）を入れると $\frac{sin θ _{1}}{V _{1}} = \frac{sin θ _{2}}{V _{2}}$ となります。地殻（速さ $V_{1}$ ）からマントル（速さ $V_{2} > V_{1}$ ）へ入る波は境界から離れる向きに曲がり、入射角がある角度 $θ_{c}$ になると屈折角が $9 0^{\circ}$ になって境界に沿って進みます。このとき $sin θ_{c} = \frac{V _{1}}{V _{2}}$ で、 $θ_{c}$ を臨界角といいます。境界に沿って進む波は、同じ角度 $θ_{c}$ で地殻へ戻り、地表の観測点に届きます。これが屈折波です。

屈折波の走時 震源を地表として、厚さ $H$ の地殻を下る斜めの部分の長さは $\frac{H}{cos θ _{c}}$ 、そのとき水平に $H tan θ_{c}$ 進みます。上りも同じです。境界に沿って進む部分の長さは $x - 2 H tan θ_{c}$ なので
$t = \frac{2 H}{V _{1} cos θ _{c}} + \frac{x - 2 H tan θ _{c}}{V _{2}} = \frac{x}{V _{2}} + \frac{2 H}{cos θ _{c}} (\frac{1}{V _{1}} - \frac{sin θ _{c}}{V _{2}})$
ここで $\frac{sin θ _{c}}{V _{2}} = \frac{V _{1}}{V _{2}^{2}}$ を使うと、かっこの中は $\frac{1}{V _{1}} (1 - sin^{2} θ_{c}) = \frac{cos ^{2} θ _{c}}{V _{1}}$ となり
$t = \frac{x}{V _{2}} + \frac{2 H cos θ _{c}}{V _{1}}, cos θ_{c} = \frac{V _{2}^{2} - V _{1}^{2}}{V _{2}}$
が得られます。これは走時曲線の屈折波の直線そのもので、傾きの逆数が $V_{2}$ になる理由も分かります。

地殻の厚さ 交点 $x_{c}$ では直接波の走時 $\frac{x _{c}}{V _{1}}$ と屈折波の走時が等しいので
$\frac{x _{c}}{V _{1}} = \frac{x _{c}}{V _{2}} + \frac{2 H V _{2}^{2} - V _{1}^{2}}{V _{1} V _{2}}$
両辺に $V_{1} V_{2}$ をかけて $x_{c} (V_{2} - V_{1}) = 2 H (V_{2} - V_{1}) (V_{2} + V_{1})$ 。 $V_{2} - V_{1} > 0$ で割って整理すると
$H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$
となります。屈折波の直線を $x = 0$ まで延ばしたときの時間（切片） $a = \frac{2 H cos θ _{c}}{V _{1}}$ が分かっているときは、そこから $H = \frac{a V _{1}}{2 cos θ _{c}}$ と求めることもできます。

手順

走時曲線（走時の表）から $V_{1}$ , $V_{2}$ , $x_{c}$ を読み取る。速さと距離の単位をそろえる（km と km/s）
$V_{2} > V_{1}$ であることを確かめ、 $\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ を計算する
その平方根をとり、 $\frac{x _{c}}{2}$ をかけて $H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ を求める
（交点の代わりに屈折波の直線の切片 $a$ が分かっているときは、 $sin θ_{c} = \frac{V _{1}}{V _{2}}$ から $cos θ_{c}$ を求め、 $H = \frac{a V _{1}}{2 cos θ _{c}}$ とする）
問題文の指定どおりに丸める

例題

地表で人工地震を起こし、各地点で P 波の走時を測定した。走時曲線から、地殻の P 波の速さは $V_{1} = 6.4 km/s$ 、マントル最上部の P 波の速さは $V_{2} = 8.0 km/s$ であり、直接波と屈折波の走時曲線は震源から $x_{c} = 180 km$ の距離で交わることが分かった。地殻は水平で一様な層とし、地殻の厚さ $H$ は $H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ で表されるものとする。地殻の厚さは何 km か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1： $V_{1} = 6.4 km/s$ , $V_{2} = 8.0 km/s$ , $x_{c} = 180 km$ 。単位はそろっている。

手順 2： $V_{2} > V_{1}$ であり
$\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}} = \frac{8.0 - 6.4}{8.0 + 6.4} = \frac{1.6}{14.4} = \frac{1}{9}$

手順 3：
$H = \frac{180}{2} \frac{1}{9} = 90 \times \frac{1}{3} = 30 (km)$

手順 5：整数で $30$ km。

（確かめ： $sin θ_{c} = \frac{6.4}{8.0} = 0.80$ より $cos θ_{c} = 0.60$ 。屈折波の走時は $t = \frac{x}{8.0} + \frac{2 \times 30 \times 0.60}{6.4} = \frac{x}{8.0} + 5.625$ で、 $x = 180$ km のとき $22.5 + 5.625 = 28.125$ s。直接波は $\frac{180}{6.4} = 28.125$ s で一致する。）

答え: $30$

よくある誤り

根号の中の分子と分母を逆にして $\frac{V _{2} + V _{1}}{V _{2} - V _{1}}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ で、この値は 1 より小さい。例： $\frac{180}{2} \times 9 = 270$ km ではなく $\frac{180}{2} \times \frac{1}{9} = 30$ km
$\frac{x _{c}}{2}$ の $\frac{1}{2}$ を落として $H = x_{c} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ としてしまう誤り。屈折波は地殻を下りと上りの 2 回通るので係数 $\frac{1}{2}$ がつく。正しくは $H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$
臨界角を $sin θ_{c} = \frac{V _{2}}{V _{1}}$ としてしまう誤り。 $V_{2} > V_{1}$ なのでこれは 1 を超えてしまう。正しくは屈折角 $9 0^{\circ}$ を屈折の法則 $\frac{sin θ _{c}}{V _{1}} = \frac{sin 9 0 ^{\circ}}{V _{2}}$ に入れて $sin θ_{c} = \frac{V _{1}}{V _{2}}$
屈折波の直線の切片 $a$ から厚さを求めるとき、 $H = \frac{a V _{1}}{2}$ として $cos θ_{c}$ を忘れる誤り。地殻の中は斜めに進むので、正しくは $a = \frac{2 H cos θ _{c}}{V _{1}}$ より $H = \frac{a V _{1}}{2 cos θ _{c}}$ 。例： $a = 5.625$ s, $V_{1} = 6.4$ km/s, $cos θ_{c} = 0.60$ なら $H = 30$ km（ $18$ km ではない）

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある地域で人工地震を起こし、地表に一直線に並べた観測点で P 波の到達時刻を調べて走時曲線をつくった。走時曲線から次のことがわかった。
- 震源の近くで最初に届く直接波の速さ（地殻の P 波の速さ）: $V_{1} = 6.4 km/s$
- 遠くで最初に届く屈折波の速さ（マントル最上部の P 波の速さ）: $V_{2} = 8.0 km/s$
- 2 本の走時曲線（直線）が交わる点の震央距離: $x_{c} = 180 km$
地殻の厚さ $H$ は、
$H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$
で求められる。この地域の地殻の厚さは何 km か。整数で答えよ。ただし、震源は地表にあり、地殻とマントルの境界（モホロビチッチ不連続面）は水平で、地殻とマントル最上部の中ではそれぞれ P 波の速さは一定とする。

屈折波と地殻の厚さ

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題