走時曲線の読み取り

走時の表から、直接波と屈折波のそれぞれについて走時曲線の傾きの逆数から地殻とマントル最上部の P 波の速さ $V_{1}$ , $V_{2}$ を求め、2 本の直線が交わる距離 $x_{c}$ を求められる

前提

地震波が伝わる時間と距離（中学理科大地の変化）

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地震波が伝わる時間と距離（中学理科大地の変化）

説明

走時曲線とは、震源（震央）からの距離 $x$ を横軸、地震波が最初に届くまでの時間（走時） $t$ を縦軸にとったグラフです。各観測点の走時を表にまとめると、近い観測点では地殻の中をまっすぐ進む直接波が、遠い観測点ではマントル最上部を通る屈折波が先に届くため、点は 2 本の直線に分かれて並びます。それぞれの直線の傾きの逆数から地殻とマントル最上部の P 波の速さ $V_{1}$ , $V_{2}$ が分かり、2 本の直線の交点の距離 $x_{c}$ も計算できます。 $x_{c}$ は、地殻の厚さ（モホ面の深さ）を見積もるときの手がかりになります。

なぜそうしてよいのか

震源が地表近くにあるとします。直接波は地殻の中を速さ $V_{1}$ で地表に沿って進むので、距離 $x$ の観測点に届くまでの時間は「時間＝距離 ÷ 速さ」より $t = \frac{x}{V _{1}}$ です。これは原点を通る直線で、傾きは $\frac{1}{V _{1}}$ です。傾きは「距離が 1 km 増えると何秒遅れるか」を表すので、その逆数をとると「1 秒で何 km 進むか」、つまり速さ $V_{1}$ になります。

屈折波は、地殻を斜めに下ってモホ面に達し、そのすぐ下のマントル最上部を速さ $V_{2}$ で水平に進み、再び地殻を斜めに上って観測点に届きます。下りと上りの部分は観測点がどこでも同じ経路なので、かかる時間は一定です。観測点が $Δ x$ だけ遠くなると、増えるのはマントル最上部を水平に進む距離だけで、その分の時間は $\frac{Δ x}{V _{2}}$ 増えます。したがって屈折波の走時は $t = \frac{x}{V _{2}} + a$ （ $a$ は正の定数）という直線になり、傾きの逆数が $V_{2}$ です。

マントル最上部の岩石のほうが速く伝える（ $V_{2} > V_{1}$ ）ので、屈折波の直線は傾きが小さく、近くでは遠回りの分だけ遅れますが、遠くでは直接波を追い越します。2 本の直線の交点の距離 $x_{c}$ より近い所では直接波が、遠い所では屈折波が最初に届くので、表の値（最初に届いた波の走時）は折れ曲がった 1 本の線になります。 $x_{c}$ は 2 つの式を等しいとおいた $\frac{x}{V _{1}} = \frac{x}{V _{2}} + a$ を解けば求まります。

手順

表の点を、原点を通る直線にのる近い側（直接波）と、それより傾きの小さい遠い側（屈折波）の 2 組に分ける
直接波の組から 2 点を選び、傾き $\frac{Δ t}{Δ x}$ を求めて、その逆数から $V_{1} = \frac{Δ x}{Δ t}$ を求める
屈折波の組から 2 点を選び、同じように $V_{2} = \frac{Δ x}{Δ t}$ を求める
屈折波の 1 点を $t = \frac{x}{V _{2}} + a$ に代入して、定数 $a$ （屈折波の直線を $x = 0$ まで延ばしたときの $t$ ）を求める
$\frac{x}{V _{1}} = \frac{x}{V _{2}} + a$ を解いて交点の距離 $x_{c}$ を求める

例題

地表付近で起きた地震について、震央からの距離 $x$ と、P 波が最初に届くまでの時間（走時） $t$ を調べたところ、次の表のようになった。表の点は、近い側の直接波の直線と、遠い側の屈折波の直線の 2 本の直線にのっている。

震央からの距離 $x$ 〔km〕	48	96	144	192	320	400	480
走時 $t$ 〔s〕	8	16	24	32	50	60	70

直接波の走時曲線と屈折波の走時曲線が交わる点の震央からの距離 $x_{c}$ は何 km か。整数で求めよ。

例題の解答

手順 1： $x = 48 \sim 192$ km の点は $t = \frac{x}{6}$ のように原点を通る直線にのるので直接波、 $x = 320 \sim 480$ km の点は傾きの小さい屈折波の直線にのる。

手順 2：直接波の 2 点 $(48, 8)$ , $(192, 32)$ から
$V_{1} = \frac{192 - 48}{32 - 8} = \frac{144}{24} = 6.0 (km/s)$

手順 3：屈折波の 2 点 $(320, 50)$ , $(480, 70)$ から
$V_{2} = \frac{480 - 320}{70 - 50} = \frac{160}{20} = 8.0 (km/s)$

手順 4：屈折波の走時を $t = \frac{x}{8.0} + a$ とおき、 $(320, 50)$ を代入すると
$50 = \frac{320}{8.0} + a = 40 + a より a = 10 (s)$

手順 5：2 本の直線の交点は
$\frac{x}{6.0} = \frac{x}{8.0} + 10$
両辺に 24 をかけて $4 x = 3 x + 240$ 、よって $x_{c} = 240$ km。

（確かめ： $x = 240$ km では直接波 $240 \div 6.0 = 40$ s、屈折波 $240 \div 8.0 + 10 = 40$ s で等しい。）

答え: $240$

よくある誤り

傾きそのものを速さとしてしまう誤り。走時曲線の傾き $\frac{Δ t}{Δ x}$ の単位は s/km なので、正しくは速さはその逆数 $V = \frac{Δ x}{Δ t}$ 。例：直接波の傾き $\frac{24}{144} = \frac{1}{6}$ から $V_{1} = 6.0$ km/s であって $0.17$ km/s ではない
屈折波の速さを 1 点だけから $V_{2} = \frac{x}{t}$ として求めてしまう誤り。屈折波の直線は原点を通らない（ $t = \frac{x}{V _{2}} + a$ , $a > 0$ ）ので、例えば $\frac{320}{50} = 6.4$ は $V_{2}$ ではない。正しくは 2 点の差をとって $V_{2} = \frac{480 - 320}{70 - 50} = 8.0$ km/s
直接波と屈折波の境目の点を取り違え、傾きの違う 2 組の点を混ぜて速さを求めてしまう誤り。例： $(192, 32)$ と $(320, 50)$ から $\frac{128}{18} \approx 7.1$ km/s とするのは誤り。同じ直線にのる点どうしで傾きを求める
交点の距離を、表で傾きが変わる直前や直後の観測点の距離（例： $192$ km や $320$ km）としてしまう誤り。交点は観測点の位置とは限らないので、正しくは 2 本の直線の式 $\frac{x}{V _{1}} = \frac{x}{V _{2}} + a$ を解いて求める

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
地表で人工地震を起こし、震央からの距離が異なるいくつかの観測点で、P 波が最初に到着するまでの時間（走時）を測定したところ、次の表のようになった。
震央距離 [km] $30$ $60$ $90$ $120$ $160$ $200$ $240$
走時 [s] $5.0$ $10.0$ $15.0$ $20.0$ $25.0$ $30.0$ $35.0$
震央距離 $120 km$ までは地殻の中を直接伝わる P 波（直接波）が最初に到着し、 $120 km$ より遠い観測点では、地殻の下のマントル最上部を伝わってきた P 波（屈折波）が最初に到着した。この地域は、一様な地殻が一様なマントル最上部の上に水平に重なっているものとする。
マントル最上部を伝わる P 波の速さは何 km/s か。整数で答えよ。

震央距離 [km]	$30$	$60$	$90$	$120$	$160$	$200$	$240$
走時 [s]	$5.0$	$10.0$	$15.0$	$20.0$	$25.0$	$30.0$	$35.0$

この技能を使う問題

爆破点からの距離 [km]	32	64	96	128	160	240	280	320
初動の到着時間 [s]	5.0	10.0	15.0	20.0	25.0	36.0	41.0	46.0

爆破点からの距離 $[km]$	32	64	96	128	160	224	256	288
初動の走時 $[s]$	5.0	10.0	15.0	20.0	25.0	34.0	38.0	42.0

この技能の次に学べること

屈折波と地殻の厚さ（高校地学地震と火山）