地震と火山の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校地学地震と火山

ある地域で人工地震を起こし、地表に一直線に並べた観測点で P 波の到達時刻を調べて走時曲線をつくった。走時曲線から次のことがわかった。

震源の近くで最初に届く直接波の速さ（地殻の P 波の速さ）: $V_{1} = 6.4 km/s$
遠くで最初に届く屈折波の速さ（マントル最上部の P 波の速さ）: $V_{2} = 8.0 km/s$
2 本の走時曲線（直線）が交わる点の震央距離: $x_{c} = 180 km$

地殻の厚さ $H$ は、
$H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$
で求められる。この地域の地殻の厚さは何 km か。整数で答えよ。ただし、震源は地表にあり、地殻とマントルの境界（モホロビチッチ不連続面）は水平で、地殻とマントル最上部の中ではそれぞれ P 波の速さは一定とする。

この問題で使うもの

屈折波と地殻の厚さ（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（29 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

技能「屈折波と地殻の厚さ」を使う。与えられた $V_{1}$ , $V_{2}$ , $x_{c}$ を地殻の厚さの式に代入すればよい。

ヒント 2

まず根号の中の $\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$ を計算すると、簡単な分数になる。

ヒント 3

$\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}} = \frac{1.6}{14.4} = \frac{1}{9}$ なので、根号の部分は $\frac{1}{3}$ になる。

答えと解説

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解説を読む

地殻の厚さは
$H = \frac{x _{c}}{2} \frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}}$
で求められる。値を順に代入していく。

まず根号の中を計算する。
$V_{2} - V_{1} = 8.0 - 6.4 = 1.6, V_{2} + V_{1} = 8.0 + 6.4 = 14.4$
$\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}} = \frac{1.6}{14.4} = \frac{1}{9}$
よって
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3}$

次に $\frac{x _{c}}{2} = \frac{180}{2} = 90 km$ なので
$H = 90 \times \frac{1}{3} = 30 km$

よって、地殻の厚さは $30$ km である。

別解

与えられた式に代入する。 $V_{2} - V_{1} = 8.0 - 6.4 = 1.6$ 、 $V_{2} + V_{1} = 8.0 + 6.4 = 14.4$ なので $\frac{V _{2} - V _{1}}{V _{2} + V _{1}} = \frac{1.6}{14.4} = \frac{1}{9}$ 。よって $H = \frac{180}{2} \frac{1}{9} = 90 \times \frac{1}{3} = 30$ km。検算: 直接波の到達時間 $180/6.4 = 28.125$ s、屈折波の到達時間 $\frac{x _{c}}{V _{2}} + \frac{2 H V _{2}^{2} - V _{1}^{2}}{V _{1} V _{2}} = 22.5 + \frac{60 \times 4.8}{51.2} = 22.5 + 5.625 = 28.125$ s で一致する。

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