電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、平面 $z=0$ を境に、$z<0$ が真空、$z>0$ が屈折率 $n(n>1)$ の一様な透明媒質で満たされている。媒質は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、電磁波を吸収せず、境界面に電荷や電流はないとする。

角振動数 $\omega$ の単色の平面電磁波が、真空側から境界面に垂直に入射した。測定の結果、透過波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）は入射波の強度の $\frac{8}{9}$ であった。

媒質の屈折率 $n$ を求めよ。

SI 単位系で、真空中に、屈折率 $n=2$ の一様な誘電体でできた厚さ $d$ の平行平板（$0\le z\le d$、$x$, $y$ 方向には十分に広い）が置かれている。誘電体は非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、$z<0$ の側から板の表面に垂直に入射する。板の厚さは $d=\frac{{\lambda }_0}{16}$ である。

板の内部での多重反射をすべて考慮して、入射波の強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均）に対する、$z>d$ の側へ透過する波の強度の比を、既約分数で求めよ。

真空（屈折率 $1$）中に、屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様なガラスでできた、両面が平行な平面の厚い板が置かれている。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。この板の表面に、偏光していない（自然光の）単色の平面波を入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射させる。

板は十分厚く、板の中で多重反射する光どうしの干渉は無視でき、板を透過する光の強度は、多重反射を繰り返して裏面から出てくる光の強度をすべて足し合わせたものとしてよい。各境界面での反射・透過はフレネルの式に従うものとする。

板を透過して裏面側に出てくる光の強度の合計は、入射光の強度の何倍か。既約分数で求めよ。

屈折率 $n_1=1$ の空気から、屈折率 $n_2=\frac{3}{2}$ のガラスの平らな表面に、平面電磁波（光）が垂直に入射する。空気もガラスも透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、吸収はないものとする。境界では電場 $\mathbf{E}$ と磁場 $\mathbf{H}$ の接線成分がそれぞれ連続である。

この境界での強度の透過率 $T$（入射波の強度に対する透過波の強度の比）を既約分数で求めよ。

SI 単位系で考える。平面 $z=0$ を境界として、$z<0$ の領域は屈折率 $n=\sqrt{3}$ の一様な透明ガラスで満たされており、$z>0$ の領域は真空（屈折率 $1$）である。ガラスは非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しい）で、光を吸収しない。境界面は $xy$ 平面に平行で十分に広く、境界面に電荷や電流はない。

真空中での波長が ${\lambda }_0$ の単色の平面電磁波が、ガラス側から境界面に入射角 $\frac{\pi }{3}$ で入射する。入射角は、境界面の法線（$z$ 軸）と波の進行方向のなす角である。入射面は $xz$ 平面とする。このとき全反射が起こり、真空側 $z>0$ にはエバネッセント波が生じる。その電場の振幅は、$z$ とともに $\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)$ の形で減衰する（$\delta >0$）。

振幅の減衰の長さ $\delta$ と真空中の波長 ${\lambda }_0$ の比 $\frac{\delta }{{\lambda }_0}$ を求めよ。答えは、根号と $\pi$ を用いた正確な値で表せ。