電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、数密度 $n$ の自由電子（質量 $m$、電荷 $-e$）と、電荷を中和する一様な正イオンからなる冷たいプラズマがある。正イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動・衝突、電子にはたらく磁場からの力は無視し、電子の運動は非相対論的に扱う。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とし、プラズマ角振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_{0}m}}$ とする。

このプラズマ中を、$z$ 軸の正の向きに、角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の横波の平面電磁波
$$\mathbf{E}=\left(E_0\cos (kz-\omega t),0,0\right)(E_0>0,k>0)$$
が伝わっている。電子の速度はこの電場によって生じる振動成分だけからなるものとする。

電場のエネルギー密度 $\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$、磁場のエネルギー密度 $\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$、電子の運動エネルギー密度 $\frac{1}{2}nm|\mathbf{v}{|}^2$ をそれぞれ時間平均し、それらの和を全エネルギー密度とする。全エネルギー密度のうち電子の運動エネルギー密度が占める割合を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、真空中に、平面 $z=0$ と $z=L(L>0)$ に置かれた 2 枚の十分に広い完全導体板がある。板の間（$0<z<L$）の電場が
$$\mathbf{E}(z,t)=\left(E_0\sin kz\cos \omega t,0,0\right)$$
で与えられる定在波になっている。ここで $E_0>0$ は定数、$k=\frac{\pi }{L}$、$\omega =ck$、$c=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}$ は真空中の光速であり、${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$ はそれぞれ真空の誘電率と透磁率である。板の間に電荷や電流はなく、磁場には時間によらない一様な成分はないものとする。完全導体の内部（$z>L$ の側）では電場も磁場も $0$ である。板 $z=L$ が電磁場から受ける力の単位面積あたりの大きさを、時間について平均した値を ${\epsilon }_0$, $E_0$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${ϵ}_0$、光速 $c$）に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様で一定の磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)(B>0)$ がある。この中を、質量 $m$、電荷 $-e(e>0)$ の電子がらせん運動している。時刻 $t=0$ で、電子の速度と磁場のなす角（ピッチ角）は $60^{\circ }$ であった。

電子の速さは常に $c$ より十分小さく、非相対論的に扱ってよい。電子は加速度運動によって電磁波を放射し、その放射の仕事率はラーモアの公式
$$P=\frac{e^2|\mathbf{a}{|}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$
で与えられる（$\mathbf{a}$ は電子の加速度）。1 周期あたりに失われるエネルギーは運動エネルギーに比べて十分小さく、各瞬間の運動はらせん運動とみなせるものとし、電子の運動エネルギーは放射されたエネルギーの分だけ減少するものとする。また、放射の反作用は速度の磁場に平行な成分を変えないものとする。重力および電子が受けるその他の力は無視する。

ピッチ角が $45^{\circ }$ になる時刻 $t$ を、${ϵ}_0,c,m,e,B$ を用いて表せ。

SI 単位系で、ある領域の電磁場が、スカラーポテンシャル $\varphi$ とベクトルポテンシャル $\mathbf{A}$ によって
$$\varphi =0,\mathbf{A}(x,y,z,t)=\left(\alpha xt,0,0\right)$$
と表されている（$\alpha$ は $0$ でない定数）。電場と磁場は $\mathbf{E}=-\nabla \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$, $\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ で与えられる。このポテンシャルにゲージ変換
$${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\nabla \chi ,{\varphi }^{\prime }=\varphi -\frac{\partial \chi }{\partial t}$$
をほどこし、変換後のポテンシャルがローレンツ条件
$$\nabla \cdot {\mathbf{A}}^{\prime }+\frac{1}{c^2}\frac{\partial {\varphi }^{\prime }}{\partial t}=0$$
を満たすようにしたい（$c$ は真空中の光速）。ゲージ関数 $\chi$ は時刻 $t$ だけの関数 $\chi (t)$ とし、$\chi (0)=0$, $\frac{d\chi }{dt}(0)=0$ を満たすものとする。変換後のスカラーポテンシャル ${\varphi }^{\prime }$ を $\alpha$, $c$, $t$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、光速 $c$）に、質量 $m$ の 2 つの小球があり、一方は電荷 $+q(q>0)$、他方は電荷 $-q$ をもつ。2 つの小球はばね定数 $k$ の軽いばねでつながれ、$x$ 軸上だけを運動する。はじめ 2 つの小球の重心は静止しており、2 つの小球は重心に対して対称に、ばねの自然長のまわりで $x$ 軸方向に微小振動している。

2 つの小球は加速度運動するので電磁波を放射し、そのぶん振動のエネルギー（2 つの小球の運動エネルギーとばねの弾性エネルギーの和）がゆっくり減っていく。次の近似を用いる。
- 小球の速さは $c$ に比べて十分小さく、振動の振幅は放射される電磁波の波長に比べて十分小さいので、放射は電気双極子放射として扱い、その全放射パワーは双極子モーメント $\mathbf{p}(t)$ を用いて $P=\frac{|\ddot{\mathbf{p}}{|}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}$ で与えられる（ラーモアの公式）。
- 2 つの小球のあいだのクーロン力、重力、空気抵抗は無視する。
- 振動のエネルギーが 1 周期のあいだに失われる割合は十分小さく、エネルギーの減り方は 1 周期にわたる放射パワーの時間平均で決まるとする。

振動のエネルギーが初めの値の $\frac{1}{2}$ になるまでにかかる時間を、$q,m,k,{\epsilon }_0,c$ を用いて求めよ。