電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、数密度 $n$ の自由電子（質量 $m$、電荷 $-e$）と、電荷を中和する一様な正イオンからなる冷たいプラズマがある。正イオンは重いので静止しているとみなし、電子の熱運動・衝突、電子にはたらく磁場からの力は無視し、電子の運動は非相対論的に扱う。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とし、プラズマ角振動数を ${\omega }_p=\sqrt{\frac{n{e}^2}{{\epsilon }_{0}m}}$ とする。

このプラズマ中を、$z$ 軸の正の向きに、角振動数 $\omega =2{\omega }_p$ の横波の平面電磁波
$$\mathbf{E}=\left(E_0\cos (kz-\omega t),0,0\right)(E_0>0,k>0)$$
が伝わっている。電子の速度はこの電場によって生じる振動成分だけからなるものとする。

電場のエネルギー密度 $\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2$、磁場のエネルギー密度 $\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$、電子の運動エネルギー密度 $\frac{1}{2}nm|\mathbf{v}{|}^2$ をそれぞれ時間平均し、それらの和を全エネルギー密度とする。全エネルギー密度のうち電子の運動エネルギー密度が占める割合を、既約分数で求めよ。

SI 単位系で、$z>0$ の空間を一様な導電性の媒質が満たしている。この媒質の誘電率は真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$ に等しく、電気伝導率は $\sigma$ で、電流密度はオームの法則 $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$ に従う。媒質の内部では電荷密度は $0$ とする。光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

この媒質の中を、角振動数 $\omega (>0)$ の単色の平面電磁波が $z$ 軸の正の向きに進んでいる。電場は $x$ 成分だけをもち、複素表示で
$$E_x(z,t)=\mathrm{Re}\left[E_0{e}^{i(kz-\omega t)}\right]$$
と書ける（$E_0$ は定数、$k$ は複素数の波数で $\mathrm{Re}k>0$）。伝導率が $\sigma =\sqrt{3}{\epsilon }_0\omega$ であるとき、電場の振幅が $\frac{1}{e}$ 倍になるまでに波が進む距離（振幅の減衰長）を、$c$, $\omega$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中（真空の透磁率 ${\mu }_0$、真空中の光速 $c$）を伝わる平面電磁波を考える。$xyz$ 直交座標系で、この電磁波の電場は
$$\mathbf{E}=\left(0,E_0\cos \left(\frac{k}{2}x+\frac{\sqrt{3}k}{2}z-\omega t\right),0\right)$$
で与えられる。ここで $E_0$, $k$, $\omega$ は正の定数で、$\omega =ck$ を満たす。また、磁場には時間に依存しない成分はないものとする。

平面 $z=0$ 上にある、原点を中心とする半径 $R$ の円板を考える。この円板を $z$ 軸の正の向きに通過する電磁場のエネルギーの、単位時間あたりの量（ポインティングベクトルの円板上での面積分）を、電磁波の 1 周期にわたって時間平均した値を、$E_0$, $R$, ${\mu }_0$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中の原点に置かれた電気双極子モーメントが
$$\mathbf{p}(t)=p_0\left(\cos \omega t,\sin \omega t,0\right)$$
のように、大きさ $p_0$ を保ったまま $xy$ 平面内を角振動数 $\omega$ で回転している（$p_0>0$, $\omega >0$ は定数）。双極子の大きさは放射の波長に比べて十分小さく、十分遠方（放射帯）では、単位方向ベクトル $\mathbf{n}$ の向きへ単位立体角あたりに放射される電力は、電気双極子近似により
$$\frac{dP}{d\Omega }=\frac{{\mu }_0}{16{\pi }^{2}c}{\left|\mathbf{n}\times \ddot{\mathbf{p}}\right|}^2$$
で与えられる（${\mu }_0$ は真空の透磁率、$c$ は真空中の光速、$\ddot{\mathbf{p}}$ は遅延時刻での $\mathbf{p}$ の 2 階時間微分）。$+z$ 軸方向（$\mathbf{n}=(0,0,1)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均は、$+x$ 軸方向（$\mathbf{n}=(1,0,0)$）への $\frac{dP}{d\Omega }$ の時間平均の何倍か。