電磁場の運動量と放射圧

電磁波の運動量密度 $S / c^{2}$ や導体表面での $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ などを使い、吸収面・反射面（斜め入射を含む）や導体板が受ける単位面積あたりの力の時間平均を求められる

前提

ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）

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算数中学高校大学大学院

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電力と電力量（中学理科電流と電圧）
直列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
並列回路の電流・電圧・抵抗（中学理科電流と電圧）
電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
自己誘導とコイルのエネルギー（高校物理電磁気と交流）
相互誘導とソレノイドのインダクタンス（高校物理電磁気と交流）
インダクタンスと磁場のエネルギー（大学物理電磁気学（静電場・静磁場・電磁誘導））
三角関数の積分（数学III 積分法）
ポインティングベクトルとエネルギー密度（大学物理電磁波と電磁場）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
運動量と力積（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
電流が磁場から受ける力（高校物理電磁気と交流）

説明

電磁波はエネルギーだけでなく運動量も運んでいるので、物体に当たって吸収されたり反射されたりすると、物体を押す力（放射圧）を及ぼします。この技能では、電磁波の運動量密度 $S / c^{2}$ から、吸収面・反射面（斜め入射を含む）が受ける単位面積あたりの力の時間平均を求めます。また、導体表面では表面の磁場 $B$ から圧力 $\frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ として同じ力を求められます。太陽光帆（ソーラーセイル）やレーザーによる微粒子の操作などを考えるときに使います。

なぜそうしてよいのか

真空中の電磁波は、単位体積あたり $g = S / c^{2}$ の運動量をもち、速さ $c$ で $S$ の向きに進みます（エネルギー密度 $u$ と $∣ S ∣ = u c$ の関係から、運ぶ運動量の大きさはエネルギーの $1/ c$ 倍、と覚えてもよいです）。進行方向に垂直な面積 $A$ の板を考えると、時間 $Δ t$ の間に板に届く電磁波は長さ $c Δ t$ の柱の中にあった分なので、届く運動量は $\frac{S}{c ^{2}} \cdot A c Δ t = \frac{S}{c} A Δ t$ です。板がこれを全部吸収すれば、運動量と力積の関係 $Δ p = F Δ t$ から、単位面積あたりの力は $\frac{S}{c}$ 、時間平均をとって $P = \frac{⟨ S ⟩}{c}$ となります。完全に反射する場合は運動量の向きが逆になるので、変化量は 2 倍で $P = \frac{2 ⟨ S ⟩}{c}$ です。

斜め入射（入射角 $θ$ 、面の法線と進行方向のなす角）では 2 つの効果で $cos θ$ が 2 回かかります。(1) 面積 $A$ の板が受け止める電磁波の断面積は $A cos θ$ に減る。(2) 届いた運動量のうち面に垂直な成分は $cos θ$ 倍。完全反射では面に平行な成分は変わらず垂直成分だけが反転するので、垂直方向の圧力は $P = \frac{2 ⟨ S ⟩}{c} cos^{2} θ$ です（完全吸収なら垂直成分は $\frac{⟨ S ⟩}{c} cos^{2} θ$ で、面に平行な力 $\frac{⟨ S ⟩}{c} cos θ sin θ$ も加わります）。

導体の側から見ると、この力は表面を流れる電流が磁場から受ける力です。完全導体では内部の磁場が 0、表面のすぐ外の磁場が $B$ （表面に平行）なので、アンペールの法則から単位幅あたり $K = B / μ_{0}$ の表面電流が流れます。電流の層が感じる磁場は内外の平均 $B /2$ なので、単位面積あたりの力は $K \cdot \frac{B}{2} = \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}}$ で、導体を外から押す向きになります。垂直入射で振幅 $B_{0}$ の波が完全反射すると、表面では入射波と反射波の磁場が強め合って $B = 2 B_{0} cos ω t$ となり、 $⟨ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} ⟩ = \frac{B _{0}^{2}}{μ _{0}}$ です。一方 $⟨ S ⟩ = \frac{c B _{0}^{2}}{2 μ _{0}}$ なので $\frac{2 ⟨ S ⟩}{c} = \frac{B _{0}^{2}}{μ _{0}}$ となり、2 つの見方は一致します。

手順

入射する電磁波の強度（ポインティングベクトルの時間平均） $⟨ S ⟩$ を求める。振幅 $E_{0}$ が与えられていれば $⟨ S ⟩ = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}$
面が完全吸収か完全反射か、入射角 $θ$ （面の法線と進行方向のなす角）はいくつかを確認する
単位時間・単位面積あたりに面に届く運動量の垂直成分を $\frac{⟨ S ⟩}{c} cos θ \cdot cos θ$ と求める（ $cos θ$ の 1 つは受け止める断面積、もう 1 つは運動量の垂直成分）
運動量の変化から圧力を出す。完全吸収なら $P = \frac{⟨ S ⟩}{c} cos^{2} θ$ 、完全反射なら $P = \frac{2 ⟨ S ⟩}{c} cos^{2} θ$
導体表面の磁場 $B$ が与えられているときは $P = ⟨ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} ⟩$ で求め、反射波との重ね合わせで $B$ が入射波の 2 倍になることに注意する

例題

真空中で、強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均） $I_{0}$ の平面電磁波が、完全に反射する平らな鏡に入射角 $θ = \frac{π}{3}$ （鏡の法線と波の進行方向のなす角）で当たっている。真空中の光速を $c$ とする。鏡が受ける、鏡の面に垂直な向きの単位面積あたりの力の時間平均を、 $I_{0}$ と $c$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: 強度は $⟨ S ⟩ = I_{0}$ 。

手順 2: 完全反射で、入射角は $θ = \frac{π}{3}$ なので $cos θ = \frac{1}{2}$ 。

手順 3: 鏡の面積 $A$ が受け止める電磁波の断面積は $A cos θ$ なので、時間 $Δ t$ に届くエネルギーは $I_{0} A cos θ Δ t$ 、運動量の大きさはその $1/ c$ 倍。その垂直成分はさらに $cos θ$ 倍なので、単位時間・単位面積あたり $\frac{I _{0}}{c} cos^{2} θ$ の垂直運動量が届く。

手順 4: 反射で垂直成分は向きが反転し、平行成分は変わらないので、垂直成分の変化は 2 倍。運動量と力積の関係から
$P = \frac{2 I _{0}}{c} cos^{2} θ = \frac{2 I _{0}}{c} \cdot \frac{1}{4} = \frac{I _{0}}{2 c}$

答え: $\frac{I _{0}}{2 c}$

よくある誤り

反射面の放射圧を吸収面と同じ $\frac{⟨ S ⟩}{c}$ としてしまう誤り。完全反射では運動量が $p$ から $- p$ に変わり変化量が $2 p$ なので、垂直入射で $P = \frac{2 ⟨ S ⟩}{c}$ となる。
斜め入射で $cos θ$ を 1 回しか掛けず $P = \frac{2 ⟨ S ⟩}{c} cos θ$ としてしまう誤り。受け止める断面積が $cos θ$ 倍、運動量の垂直成分が $cos θ$ 倍なので、正しくは $P = \frac{2 ⟨ S ⟩}{c} cos^{2} θ$ 。
運動量密度を $S / c$ や $S$ としてしまう誤り。運動量密度は $S / c^{2}$ で、これに速さ $c$ を掛けた $S / c$ が単位時間・単位面積あたりに運ばれる運動量（圧力の大きさ）になる。
導体表面の磁場として入射波の振幅 $B_{0}$ をそのまま使い $⟨ \frac{B ^{2}}{2 μ _{0}} ⟩ = \frac{B _{0}^{2}}{4 μ _{0}}$ としてしまう誤り。完全反射では表面で入射波と反射波の磁場が強め合い $B = 2 B_{0} cos ω t$ なので、正しくは $\frac{4 B _{0}^{2}}{2 μ _{0}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{B _{0}^{2}}{μ _{0}}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
真空中で、強度（ポインティングベクトルの大きさの時間平均） $I = 1.2 \times 1 0^{3} W/ m^{2}$ の平面電磁波が、平らな鏡に垂直に入射している。鏡は入射した電磁波をすべて反射し（反射率 $1$ ）、鏡は静止したままとする。真空中の光速を $c = 3.0 \times 1 0^{8} m/s$ とする。
鏡が電磁波から受ける単位面積あたりの力の大きさ（放射圧）の時間平均は何 $Pa$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

電磁場の運動量と放射圧

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題