電磁波と電磁場の問題

SI 単位系で、真空中を点電荷 $q(q>0)$ が $x$ 軸上を正の向きに一定の速さ $v=\frac{3}{5}c$ で運動しており、時刻 $t=0$ に原点を通過する（この運動はずっと以前から続いているものとする）。$c$ は真空中の光速、${\mu }_0$ は真空の透磁率である。

この電荷がつくる電磁ポテンシャル $(\varphi ,\mathbf{A})$ を、ローレンツゲージ $\nabla \cdot \mathbf{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \varphi }{\partial t}=0$ のもとで、無限遠で $0$ になる遅延ポテンシャル（リエナール・ヴィーヒェルトポテンシャル）として考える。時刻 $t=0$ における点 $\mathrm{P}(d,d,0)(d>0)$ でのベクトルポテンシャルの $x$ 成分 $A_x$ を、${\mu }_0,c,q,d$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、真空（真空の誘電率 ${\epsilon }_0$、光速 $c$）中で、点電荷 $q(q>0)$ が外力によって $xy$ 平面内の原点を中心とする半径 $R$ の円周上を、一定の角速度 $\omega$ で等速円運動している。速さは $R\omega \ll c$ を満たし、放射は非相対論的な扱い（ラーモアの公式と、それに対応する放射の角度分布）で求めてよいとする。

原点から十分遠方（$r\gg c/\omega$）の放射場を考える。$z$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とする。$0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{3}$ の円錐の内側へ放射される電磁波のパワーを、1 周期で時間平均した値を $q,R,\omega ,{\epsilon }_0,c$ を用いて求めよ。

SI 単位系で、真空中（真空の誘電率 ${ϵ}_0$、光速 $c$）に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様で一定の磁場 $\mathbf{B}=(0,0,B)(B>0)$ がある。この中を、質量 $m$、電荷 $-e(e>0)$ の電子がらせん運動している。時刻 $t=0$ で、電子の速度と磁場のなす角（ピッチ角）は $60^{\circ }$ であった。

電子の速さは常に $c$ より十分小さく、非相対論的に扱ってよい。電子は加速度運動によって電磁波を放射し、その放射の仕事率はラーモアの公式
$$P=\frac{e^2|\mathbf{a}{|}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$$
で与えられる（$\mathbf{a}$ は電子の加速度）。1 周期あたりに失われるエネルギーは運動エネルギーに比べて十分小さく、各瞬間の運動はらせん運動とみなせるものとし、電子の運動エネルギーは放射されたエネルギーの分だけ減少するものとする。また、放射の反作用は速度の磁場に平行な成分を変えないものとする。重力および電子が受けるその他の力は無視する。

ピッチ角が $45^{\circ }$ になる時刻 $t$ を、${ϵ}_0,c,m,e,B$ を用いて表せ。

SI 単位系で、真空中に、$z$ 軸を共通の中心軸とする、半径 $a$ の導体円柱（内導体）と内半径 $b(b>a)$ の導体円筒（外導体）からなる、長さ $L$ のまっすぐな同軸ケーブルがある。内導体と外導体のあいだは真空である。ケーブルの一端には直流電源が、他端には抵抗がつながれていて、内導体の電位は外導体より $V(V>0)$ だけ高く保たれ、内導体には $z$ 軸の正の向きに、外導体には負の向きに、それぞれ大きさ $I(I>0)$ の一定の電流が流れている。

ケーブルの両端付近の場の乱れは無視し、内導体と外導体のあいだ（$a<r<b$、$r$ は中心軸からの距離）の電場と磁場は、十分長い同軸ケーブルの静的な場と同じであるとする。また、導体の抵抗は無視でき、両導体の電位はそれぞれ長さ方向に一定とみなす。真空の誘電率と透磁率を ${\epsilon }_0$, ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

電磁場の運動量密度を $\mathbf{g}={\epsilon }_0\mathbf{E}\times \mathbf{B}$ として、内導体と外導体のあいだの領域（$a<r<b$、長さ $L$）にある電磁場の運動量の大きさを、$V$, $I$, $L$, $c$ を用いて表せ。

SI 単位系で、電荷も電流もない真空中に、電場が
$$\mathbf{E}(x,y,z,t)=\left(0,0,E_0\cos (qy)\cos (px-\omega t)\right)$$
で表される電磁場がある。ここで $E_0,p,q,\omega$ は正の定数であり、$\omega$ はこの電場がマクスウェル方程式を満たすように定まっている。磁場 $\mathbf{B}$ は時間的に振動する成分だけからなり、時間によらない成分は含まないものとする。真空の誘電率を ${\epsilon }_0$、透磁率を ${\mu }_0$、光速を $c=1/\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}$ とする。

ポインティングベクトルを $\mathbf{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\mathbf{E}\times \mathbf{B}$、電磁場のエネルギー密度を $u=\frac{{\epsilon }_0}{2}|\mathbf{E}{|}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}|\mathbf{B}{|}^2$ とし、$S_x$ と $u$ をそれぞれ時間について 1 周期、$y$ について 1 周期（$0\le y\le 2\pi /q$）にわたって平均したものを $\overline{S_x}$、$\overline{u}$ とする。$x$ 方向のエネルギー輸送の速さ $v_E=\frac{\overline{S_x}}{\overline{u}}$ を、$p,q,c$ を用いて求めよ。