発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)\left(R>0,g=\frac{2}{R}\right)$$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $u_0(0)=0$ をみたし、$r=R$ で連続で、導関数は
$$u_0^{\prime }(R+0)-u_0^{\prime }(R-0)=g{u}_0(R)$$
の跳びをもつ。

エネルギー $0$（$k=0$）の s 波の解は $r>R$ で $u_0\propto r-a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k\to 0$ での全断面積 $\sigma =4\pi a^2$ を $R$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a>0$ の剛体球ポテンシャル
$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\infty & (r<a)\\ 0& (r>a)\end{array}$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数 $k$ は $ka=\frac{\pi }{6}$ をみたすとする。

$l=0$（s 波）の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $r>a$ で $u_0\propto \sin (kr+{\delta }_0)$ と書ける。境界条件 $u_0(a)=0$ から位相のずれ ${\delta }_0$ を求め、全断面積への s 波の寄与
$${\sigma }_0=\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^2{\delta }_0$$
を $a$ を用いて表せ。

エネルギー $E_0>0$ の離散的な状態 $|i⟩$ が、摂動 $V$（時間によらない）によって 1 次元の自由粒子（質量 $m$）の連続状態に崩壊する。自由粒子の状態は長さ $L$ の周期境界条件で箱規格化し、
$$⟨x|k⟩=\frac{1}{\sqrt{L}}{e}^{ikx},k=\frac{2\pi n}{L}(n\text{は整数}),E_k=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$$
とする。行列要素は $k$ によらず $⟨k|V|i⟩=\frac{g}{\sqrt{L}}$（$g$ は実定数）であるとする。

$L$ が十分大きいとして、フェルミの黄金律により $|i⟩$ から連続状態への遷移率 $\Gamma$（単位時間あたりの遷移確率）を $g,m,E_0,\hslash$ を用いて表せ。

波数 $k>0$ の粒子の、吸収（非弾性過程）をともなう散乱を考える。散乱振幅は部分波展開で
$$f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)\frac{S_l-1}{2ik}{P}_l(\cos \theta )$$
と書け、ここでは $l=0$ の部分波だけが散乱に寄与し、$S_0=\frac{1}{2}$、$S_l=1(l\ge 1)$ であるとする（$P_l$ はルジャンドル多項式で $P_l(1)=1$）。

光学定理 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}=\frac{4\pi }{k}\mathrm{Im}f(0)$ を用いて、全断面積 ${\sigma }_{\mathrm{tot}}$（弾性散乱と吸収の断面積の和）を $k$ を用いて表せ。

質量 $m$ の非相対論的な粒子が、中心力ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r^2/a^2}(V_0\text{ は実定数},a>0)$$
によって散乱される。入射粒子の波数を $k>0$（エネルギー $E={\hslash }^2{k}^2/(2m)$）とし、散乱振幅は第 1 ボルン近似で評価する。散乱振幅 $f$ は、入射平面波 $e^{ikz}$ に対して漸近形 $\psi \sim e^{ikz}+f(\theta )e^{ikr}/r$ で定義する。このとき、全断面積 $\sigma$ を $m,V_0,a,k,\hslash$ を用いて表せ。