発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

質量 $m$ の粒子が、半径 $a>0$ の剛体球ポテンシャル
$$V(r)=\{\begin{array}{ll}\infty & (r<a)\\ 0& (r>a)\end{array}$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数 $k$ は $ka=\frac{\pi }{6}$ をみたすとする。

$l=0$（s 波）の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $r>a$ で $u_0\propto \sin (kr+{\delta }_0)$ と書ける。境界条件 $u_0(a)=0$ から位相のずれ ${\delta }_0$ を求め、全断面積への s 波の寄与
$${\sigma }_0=\frac{4\pi }{k^2}{\sin }^2{\delta }_0$$
を $a$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称な指数関数型ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r/a}(V_0\text{は 0 でない実定数},a>0)$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数を $k>0$、散乱角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

球対称ポテンシャルに対する 1 次のボルン近似の散乱振幅
$$f^{(1)}(\theta )=-\frac{2m}{{\hslash }^{2}q}{\int }_0^{\infty }rV(r)\sin (qr)dr,q=2k\sin \frac{\theta }{2}$$
と微分断面積 $\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f^{(1)}(\theta ){|}^2$ を用いる。ただし $\theta =0$（$q=0$）での値は $q\to 0$ の極限で定める。

$ka=1$ のとき、後方散乱（$\theta =\pi$）の微分断面積と前方散乱（$\theta =0$）の微分断面積の比
$$\frac{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =\pi }}{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =0}}$$
を既約分数で求めよ。

球面調和関数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$（$l=0,1,2,\dots$、$m=-l,\dots ,l$）は正規直交系をなすとする。演算子 $\frac{(x+iy)z}{r^2}=\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }$ の角度部分の行列要素
$$M_{l^{\prime }{m}^{\prime }}=\int Y_{l^{\prime }}^{m^{\prime }}(\theta ,\phi {)}^{\ast }\sin \theta \cos \theta e^{i\phi }{Y}_1^0(\theta ,\phi )d\Omega$$
を考える（$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$、積分は全立体角）。

ある $m^{\prime }$ に対して $M_{l^{\prime }{m}^{\prime }}\ne 0$ となるような $l^{\prime }$ をすべて求め、集合で答えよ。

ある系の角運動量 $j=1$ の固有状態 $|1,m⟩$（$m=-1,0,1$）と、階数 $1$ の球テンソル演算子（ベクトル演算子）$T_q^{(1)}$（$q=-1,0,1$）を考える。ウィグナー・エッカルトの定理を
$$⟨j^{\prime }{m}^{\prime }|T_q^{(k)}|jm⟩=⟨jm;kq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩\frac{⟨j^{\prime }\Vert T^{(k)}\Vert j⟩}{\sqrt{2j^{\prime }+1}}$$
の形で用いる（$⟨jm;kq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩$ はコンドン・ショートレーの位相のクレブシュ・ゴルダン係数）。

行列要素が $⟨1,1|T_0^{(1)}|1,1⟩=A$（$A$ は実定数）であるとき、$⟨1,1|T_{+1}^{(1)}|1,0⟩$ を $A$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)\left(R>0,g=\frac{2}{R}\right)$$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $u_0(0)=0$ をみたし、$r=R$ で連続で、導関数は
$$u_0^{\prime }(R+0)-u_0^{\prime }(R-0)=g{u}_0(R)$$
の跳びをもつ。

エネルギー $0$（$k=0$）の s 波の解は $r>R$ で $u_0\propto r-a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k\to 0$ での全断面積 $\sigma =4\pi a^2$ を $R$ を用いて表せ。