発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学）の問題

1 次元の自由粒子（質量 $m$）の伝播関数は
$$K(x,t;y,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi i\hslash t}}\exp \left[\frac{im(x-y{)}^2}{2\hslash t}\right](t>0)$$
である。時刻 $t=0$ の波動関数が
$$\psi (x,0)=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-1/4}\exp \left(-\frac{x^2}{4{\sigma }^2}\right)(\sigma >0)$$
のとき、$\psi (x,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }K(x,t;y,0)\psi (y,0)dy$ で時間発展させる。

位置の分散 $⟨x^2⟩$ は $t=0$ で ${\sigma }^2$ である。$⟨x^2⟩$ が初めて $2{\sigma }^2$ になる時刻 $t(>0)$ を $m,\sigma ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称な指数関数型ポテンシャル
$$V(r)=V_0{e}^{-r/a}(V_0\text{は 0 でない実定数},a>0)$$
によって弾性散乱される。入射粒子の波数を $k>0$、散乱角を $\theta$（$0\le \theta \le \pi$）とし、換算プランク定数を $\hslash$ とする。

球対称ポテンシャルに対する 1 次のボルン近似の散乱振幅
$$f^{(1)}(\theta )=-\frac{2m}{{\hslash }^{2}q}{\int }_0^{\infty }rV(r)\sin (qr)dr,q=2k\sin \frac{\theta }{2}$$
と微分断面積 $\frac{d\sigma }{d\Omega }=|f^{(1)}(\theta ){|}^2$ を用いる。ただし $\theta =0$（$q=0$）での値は $q\to 0$ の極限で定める。

$ka=1$ のとき、後方散乱（$\theta =\pi$）の微分断面積と前方散乱（$\theta =0$）の微分断面積の比
$$\frac{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =\pi }}{{\frac{d\sigma }{d\Omega }|}_{\theta =0}}$$
を既約分数で求めよ。

ある系の角運動量 $j=1$ の固有状態 $|1,m⟩$（$m=-1,0,1$）と、階数 $1$ の球テンソル演算子（ベクトル演算子）$T_q^{(1)}$（$q=-1,0,1$）を考える。ウィグナー・エッカルトの定理を
$$⟨j^{\prime }{m}^{\prime }|T_q^{(k)}|jm⟩=⟨jm;kq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩\frac{⟨j^{\prime }\Vert T^{(k)}\Vert j⟩}{\sqrt{2j^{\prime }+1}}$$
の形で用いる（$⟨jm;kq|j^{\prime }{m}^{\prime }⟩$ はコンドン・ショートレーの位相のクレブシュ・ゴルダン係数）。

行列要素が $⟨1,1|T_0^{(1)}|1,1⟩=A$（$A$ は実定数）であるとき、$⟨1,1|T_{+1}^{(1)}|1,0⟩$ を $A$ を用いて表せ。

無摂動ハミルトニアン $H_0$ の 2 つの固有状態 $|1⟩$, $|2⟩$（エネルギー $E_1<E_2$）をもつ系を考え、${\omega }_{21}=\frac{E_2-E_1}{\hslash }$ とおく。時刻 $t<0$ では摂動はなく、系は $|1⟩$ にある。$t\ge 0$ で時間に依存する摂動 $H^{\prime }(t)$ がはたらき、その行列要素は
$$⟨2|H^{\prime }(t)|1⟩=V_0{e}^{-t/\tau }(t\ge 0)$$
である。ただし $V_0$ は実定数、$\tau >0$ は定数とする。

時間に依存する摂動論の 1 次の範囲で、十分時間がたった後（$t\to \infty$）に系が $|2⟩$ に見いだされる確率 $P_{1\to 2}$ を $V_0,\tau ,{\omega }_{21},\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、球対称なデルタ殻ポテンシャル
$$V(r)=\frac{{\hslash }^{2}g}{2m}\delta (r-R)\left(R>0,g=\frac{2}{R}\right)$$
によって散乱される。s 波の動径関数 $u_0(r)=r{R}_0(r)$ は $u_0(0)=0$ をみたし、$r=R$ で連続で、導関数は
$$u_0^{\prime }(R+0)-u_0^{\prime }(R-0)=g{u}_0(R)$$
の跳びをもつ。

エネルギー $0$（$k=0$）の s 波の解は $r>R$ で $u_0\propto r-a$ と書け、この $a$ を散乱長という。低エネルギーの極限 $k\to 0$ での全断面積 $\sigma =4\pi a^2$ を $R$ を用いて表せ。