縮退のない場合の摂動論

1 次のずれ $E_{n}^{(1)} = ⟨ n ∣ H^{'} ∣ n ⟩$ と 2 次のずれ $E_{n}^{(2)} = \sum_{k \neq = n} \frac{∣ ⟨ k ∣ H ^{'} ∣ n ⟩ ∣ ^{2}}{E _{n}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$ を、行列要素を計算して求められる

前提

調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））

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算数中学高校大学大学院

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調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

ハミルトニアンが、厳密に解ける部分 $H_{0}$ と小さな付け足し $H^{'}$ の和 $H = H_{0} + H^{'}$ になっているとき、 $H_{0}$ の固有値 $E_{n}^{(0)}$ と固有状態 $∣ n ⟩$ だけを使ってエネルギーのずれを近似的に求めるのが摂動論です。この技能では、 $E_{n}^{(0)}$ に縮退がない（同じエネルギーの別の状態がない）場合に、1 次のずれ $E_{n}^{(1)} = ⟨ n ∣ H^{'} ∣ n ⟩$ と 2 次のずれ $E_{n}^{(2)} = k \neq = n \sum \frac{∣ ⟨ k ∣ H ^{'} ∣ n ⟩ ∣ ^{2}}{E _{n}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$ を、行列要素を計算して求められるようになります。調和振動子に電場や非調和項が加わったときのエネルギー準位の変化などで使います。

なぜそうしてよいのか

摂動の大きさをはかる目印として $H = H_{0} + λ H^{'}$ （最後に $λ = 1$ ）とし、固有値と固有状態を $λ$ のべきで展開します: $E_{n} = E_{n}^{(0)} + λ E_{n}^{(1)} + λ^{2} E_{n}^{(2)} + \dots$ , $∣ ψ_{n} ⟩ = ∣ n ⟩ + λ ∣ n^{(1)} ⟩ + λ^{2} ∣ n^{(2)} ⟩ + \dots$ 。これを $H ∣ ψ_{n} ⟩ = E_{n} ∣ ψ_{n} ⟩$ に代入し、 $λ$ の同じべきの項どうしを比べます。ここで $H_{0}$ はエルミートなので $⟨ k ∣ H_{0} = E_{k}^{(0)} ⟨ k ∣$ 、また ${∣ k ⟩}$ は正規直交です。さらに $∣ n^{(1)} ⟩$ には $∣ n ⟩$ の成分を含めない（ $⟨ n ∣ n^{(1)} ⟩ = 0$ ）と約束します（含めても全体の規格化で吸収されるだけです）。

$λ^{1}$ の項は $H_{0} ∣ n^{(1)} ⟩ + H^{'} ∣ n ⟩ = E_{n}^{(0)} ∣ n^{(1)} ⟩ + E_{n}^{(1)} ∣ n ⟩$ 。左から $⟨ n ∣$ をかけると $∣ n^{(1)} ⟩$ の項が打ち消し合い、 $E_{n}^{(1)} = ⟨ n ∣ H^{'} ∣ n ⟩$ が出ます。つまり 1 次のずれは「もとの状態での $H^{'}$ の期待値」です。左から $⟨ k ∣$ （ $k \neq = n$ ）をかけると $⟨ k ∣ n^{(1)} ⟩ = \frac{⟨ k ∣ H ^{'} ∣ n ⟩}{E _{n}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$ となり、状態の 1 次の補正がわかります。ここで分母が $0$ にならないこと、すなわち縮退がないことが必要です。

$λ^{2}$ の項に左から $⟨ n ∣$ をかけると、同様に $E_{n}^{(2)} = ⟨ n ∣ H^{'} ∣ n^{(1)} ⟩ = k \neq = n \sum ⟨ n ∣ H^{'} ∣ k ⟩ ⟨ k ∣ n^{(1)} ⟩$ となり、 $H^{'}$ がエルミートなので $⟨ n ∣ H^{'} ∣ k ⟩ = ⟨ k ∣ H^{'} ∣ n ⟩$ を使うと公式 $E_{n}^{(2)} = k \neq = n \sum \frac{∣ ⟨ k ∣ H ^{'} ∣ n ⟩ ∣ ^{2}}{E _{n}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$ が得られます。基底状態では分母がすべて負なので、 $E_{0}^{(2)} \leq 0$ （2 次のずれは必ずエネルギーを下げる）とわかります。

手順

$H = H_{0} + H^{'}$ と分け、 $H_{0}$ の固有値 $E_{n}^{(0)}$ と固有状態 $∣ n ⟩$ を書く。注目する準位に縮退がないことを確かめる
$H^{'}$ を計算しやすい形に書き直す（調和振動子なら $x^= \frac{ℏ}{2 mω} (a^+ a^^{†})$ など）
$H^{'} ∣ n ⟩$ を計算し、どの $∣ k ⟩$ の成分をもつかを調べて行列要素 $⟨ k ∣ H^{'} ∣ n ⟩$ を求める（多くの $k$ で $0$ になる）
1 次のずれ $E_{n}^{(1)} = ⟨ n ∣ H^{'} ∣ n ⟩$ を求める
2 次のずれ $E_{n}^{(2)} = k \neq = n \sum \frac{∣ ⟨ k ∣ H ^{'} ∣ n ⟩ ∣ ^{2}}{E _{n}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$ に、0 でない行列要素だけを代入して足す

例題

質量 $m$ 、角振動数 $ω$ の 1 次元調和振動子 $H_{0} = \frac{p ^ ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^^{2}$ （固有値 $E_{n}^{(0)} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ 、固有状態 $∣ n ⟩$ ）に、一様な力による摂動 $H^{'} = - F x^$ （ $F$ は定数）が加わった。 $x^= \frac{ℏ}{2 mω} (a^+ a^^{†})$ , $a^∣ n ⟩ = n ∣ n - 1 ⟩$ , $a^^{†} ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩$ を用いて、基底状態 $n = 0$ のエネルギーの 2 次のずれ $E_{0}^{(2)}$ を $F, m, ω$ で求めよ。

例題の解答

手順 1: $H_{0}$ の準位 $E_{n}^{(0)} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ はすべて異なるので縮退はない。

手順 2: $H^{'} = - F \frac{ℏ}{2 mω} (a^+ a^^{†})$ 。

手順 3: $a^∣0 ⟩ = 0$ , $a^^{†} ∣0 ⟩ = ∣1 ⟩$ より $H^{'} ∣0 ⟩ = - F \frac{ℏ}{2 mω} ∣1 ⟩$ 。よって 0 でない行列要素は $⟨ 1∣ H^{'} ∣0 ⟩ = - F \frac{ℏ}{2 mω}$ だけで、 $⟨ 0∣ H^{'} ∣0 ⟩ = 0$ 、 $k \geq 2$ では $⟨ k ∣ H^{'} ∣0 ⟩ = 0$ 。

手順 4: $E_{0}^{(1)} = ⟨ 0∣ H^{'} ∣0 ⟩ = 0$ （1 次のずれはない）。

手順 5: $k = 1$ の項だけが残り、 $E_{0}^{(0)} - E_{1}^{(0)} = \frac{1}{2} ℏ ω - \frac{3}{2} ℏ ω = - ℏ ω$ なので
$E_{0}^{(2)} = \frac{∣ ⟨ 1∣ H ^{'} ∣0 ⟩ ∣ ^{2}}{E _{0}^{(0)} - E _{1}^{(0)}} = \frac{F ^{2} \frac{ℏ}{2 mω}}{- ℏ ω} = - \frac{F ^{2}}{2 m ω ^{2}} .$
（参考: $H_{0} + H^{'}$ は平方完成すると $\frac{p ^ ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} (x^- \frac{F}{m ω ^{2}})^{2} - \frac{F ^{2}}{2 m ω ^{2}}$ となり、厳密なずれも $- \frac{F ^{2}}{2 m ω ^{2}}$ で一致する。）

答え: $- \frac{F ^{2}}{2 m ω ^{2}}$

よくある誤り

2 次のずれの分母を $E_{k}^{(0)} - E_{n}^{(0)}$ と逆にしてしまう誤り。正しくは $E_{n}^{(0)} - E_{k}^{(0)}$ （注目する準位から他の準位を引く）。逆にすると上の例で $+ \frac{F ^{2}}{2 m ω ^{2}}$ となり、基底状態の 2 次のずれが必ず負になることに反する
1 次のずれが $0$ だったので 2 次のずれも $0$ だと考えてしまう誤り。 $⟨ 0∣ x^∣0 ⟩ = 0$ でも $⟨ 1∣ x^∣0 ⟩ \neq = 0$ なので、 $E_{0}^{(2)} = - \frac{F ^{2}}{2 m ω ^{2}} \neq = 0$ になる
2 次のずれの和で行列要素を 2 乗せずに足してしまう誤り。 $\sum_{k \neq = n} \frac{⟨ k ∣ H ^{'} ∣ n ⟩}{E _{n}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$ ではなく、絶対値の 2 乗 $∣ ⟨ k ∣ H^{'} ∣ n ⟩ ∣^{2}$ を分子にする（これは $⟨ k ∣ n^{(1)} ⟩$ の式であってエネルギーではない）
縮退がある準位にそのまま公式を使ってしまう誤り。 $E_{k}^{(0)} = E_{n}^{(0)}$ となる $k \neq = n$ があり $⟨ k ∣ H^{'} ∣ n ⟩ \neq = 0$ だと分母が $0$ になり、公式は使えない。この技能は $E_{n}^{(0)}$ が縮退していない場合に限る

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
質量 $m$ 、角振動数 $ω$ の 1 次元調和振動子 $H_{0}$ のエネルギー固有状態を $∣ n ⟩$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）、固有値を $E_{n}^{(0)} = (n + \frac{1}{2}) ℏ ω$ とする。位置演算子は消滅・生成演算子 $a^$ , $a^^{†}$ を用いて
$x^= \frac{ℏ}{2 mω} (a^+ a^^{†}), a^∣ n ⟩ = n ∣ n - 1 ⟩, a^^{†} ∣ n ⟩ = n + 1 ∣ n + 1 ⟩$
と表される。
この振動子に一様な力 $F$ （定数）を加え、摂動 $H^{'} = - F x^$ が加わったとする。基底状態 $∣0 ⟩$ のエネルギーの 2 次の摂動によるずれ
$E_{0}^{(2)} = k \neq = 0 \sum \frac{∣ ⟨ k ∣ H ^{'} ∣0 ⟩ ∣ ^{2}}{E _{0}^{(0)} - E _{k}^{(0)}}$
を、 $F$ , $m$ , $ω$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

縮退がある場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
交換項を含む期待値と相互作用のエネルギー（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
時間に依存する摂動論（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））