時間に依存する摂動論

相互作用表示で 1 次の遷移振幅 $c_{f}^{(1)} (t) = \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} ⟨ f ∣ H^{'} (t^{'}) ∣ i ⟩ e^{i ω_{f i} t^{'}} d t^{'}$ を計算し、パルス状の摂動・一定の摂動・振動する摂動 $H^{'} = V cos ω t$ について遷移確率とその時間依存性（共鳴因子 $\frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ ）を求められる

前提

定常状態の重ね合わせと時間発展（大学物理量子力学（1 次元の問題））
縮退のない場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

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算数中学高校大学大学院

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調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
縮退のない場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

ハミルトニアンが $H = H_{0} + H^{'} (t)$ と、解ける部分 $H_{0}$ と時間に依存する小さな摂動 $H^{'} (t)$ に分かれるとき、最初 $H_{0}$ の固有状態 $∣ i ⟩$ にあった系が時刻 $t$ に別の固有状態 $∣ f ⟩$ に移っている確率（遷移確率）を、 $H^{'}$ について 1 次の近似で計算できるようになります。外から電場のパルスを当てる、一定の力を急に加える、光（振動する電場）を当てるなど、原子・分子・振動子が外部からの作用で状態を変える場面の基本的な道具です。振動する摂動では、遷移確率が振動数のずれ $Δ$ に対して鋭いピークをもつ「共鳴」が現れることも読み取れます。

なぜそうしてよいのか

$H_{0}$ の固有状態を $∣ n ⟩$ 、固有値を $E_{n}$ とします。摂動がなければ各係数は $c_{n} e^{- i E_{n} t /ℏ}$ と位相が回るだけなので、その回転をあらかじめくくり出して
$∣Ψ (t)⟩ = n \sum c_{n} (t) e^{- i E_{n} t /ℏ} ∣ n ⟩$
と書きます（このように $H_{0}$ による時間発展を取り除いた見方を相互作用表示といいます）。こうすると $c_{n} (t)$ は $H^{'}$ だけによってゆっくり変化します。シュレーディンガー方程式 $i ℏ \frac{d}{d t} ∣Ψ ⟩ = (H_{0} + H^{'}) ∣Ψ ⟩$ に代入すると、 $H_{0}$ の項は両辺で打ち消し合い、 $⟨ f ∣$ との内積をとって $e^{i E_{f} t /ℏ}$ を掛けると
$i ℏ c ˙_{f} (t) = n \sum ⟨ f ∣ H^{'} (t) ∣ n ⟩ e^{i ω_{f n} t} c_{n} (t), ω_{f n} = \frac{E _{f} - E _{n}}{ℏ}$
という厳密な連立方程式になります。

$H^{'}$ が小さいとき、右辺の $c_{n} (t)$ を摂動のない値（初期値） $c_{n} = δ_{ni}$ で置き換えると、右辺は既知の関数になり、そのまま積分できます。 $f \neq = i$ に対して
$c_{f}^{(1)} (t) = \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} ⟨ f ∣ H^{'} (t^{'}) ∣ i ⟩ e^{i ω_{f i} t^{'}} d t^{'}$
で、遷移確率は $P_{i \to f} (t) = ∣ c_{f}^{(1)} (t) ∣^{2}$ です。これは $P ≪ 1$ （初期状態がほとんど減っていない）の間だけ正しい近似です。摂動が $t = 0$ より前から働くパルスなら、積分の下限を $- \infty$ にします。

因子 $e^{i ω_{f i} t^{'}}$ が鍵です。 $H^{'}$ が一定（ $t \geq 0$ で $V$ ）なら $\int_{0}^{t} e^{i ω_{f i} t^{'}} d t^{'} = \frac{e ^{i ω_{f i} t} - 1}{i ω _{f i}}$ で、 $∣ e^{i x} - 1 ∣^{2} = 4 sin^{2} \frac{x}{2}$ より $P = \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( ω _{f i} t /2 )}{( ω _{f i} /2 ) ^{2}}$ と振動します。 $H^{'} = V cos ω t = \frac{V}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ なら、被積分関数は $e^{i (ω_{f i} \pm ω) t^{'}}$ の 2 項になり、 $ω \approx ω_{f i}$ では $e^{i (ω_{f i} - ω) t^{'}}$ の項だけが打ち消されずに時間とともに積み上がります。 $Δ = ω_{f i} - ω$ としてその項だけ残すと $P \approx \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{4 ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ となり、 $Δ = 0$ で $\frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2} t ^{2}}{4 ℏ ^{2}}$ と最大になる共鳴が現れます。

手順

始状態 $∣ i ⟩$ ・終状態 $∣ f ⟩$ とそのエネルギーから $ω_{f i} = (E_{f} - E_{i}) /ℏ$ を求める
摂動の行列要素 $⟨ f ∣ H^{'} (t^{'}) ∣ i ⟩$ を計算する（空間部分と時間部分 $g (t^{'})$ に分かれるなら $V_{f i} g (t^{'})$ の形にする）
$c_{f}^{(1)} (t) = \frac{1}{i ℏ} \int_{0}^{t} ⟨ f ∣ H^{'} (t^{'}) ∣ i ⟩ e^{i ω_{f i} t^{'}} d t^{'}$ の時間積分を実行する（パルスなら $\int_{- \infty}^{\infty}$ ）
絶対値の 2 乗をとり $P_{i \to f} = ∣ c_{f}^{(1)} ∣^{2}$ を求める。 $∣ e^{i x} - 1 ∣^{2} = 4 sin^{2} \frac{x}{2}$ を使うと整理しやすい
振動する摂動 $V cos ω t$ で $ω \approx ω_{f i}$ なら、 $Δ = ω_{f i} - ω$ の項だけ残して $P \approx \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{4 ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ とする

例題

質量 $m$ 、角振動数 $ω$ の 1 次元調和振動子 $H_{0} = \frac{p ^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ が、時刻 $t < 0$ で基底状態 $∣0 ⟩$ にある。時刻 $t = 0$ から一定の小さな力 $F$ を加え、摂動 $H^{'} = - F x$ （ $t \geq 0$ ）が働くとする。時間に依存する摂動論の 1 次の近似で、時刻 $t > 0$ に第 1 励起状態 $∣1 ⟩$ に見いだす確率を $F, m, ω, ℏ, t$ で表せ。ただし $⟨ 1∣ x ∣0 ⟩ = \frac{ℏ}{2 mω}$ を用いてよい。

例題の解答

手順 1： $E_{1} - E_{0} = ℏ ω$ なので $ω_{10} = ω$ 。

手順 2：行列要素は $⟨ 1∣ H^{'} ∣0 ⟩ = - F ⟨ 1∣ x ∣0 ⟩ = - F \frac{ℏ}{2 mω}$ （ $t^{'} \geq 0$ で一定）。

手順 3：
$c_{1}^{(1)} (t) = \frac{1}{i ℏ} (- F \frac{ℏ}{2 mω}) \int_{0}^{t} e^{iω t^{'}} d t^{'} = \frac{1}{i ℏ} (- F \frac{ℏ}{2 mω}) \frac{e ^{iω t} - 1}{iω} .$

手順 4： $∣ e^{iω t} - 1 ∣^{2} = 4 sin^{2} \frac{ω t}{2}$ を使って
$P_{0 \to 1} = \frac{1}{ℏ ^{2}} \cdot \frac{F ^{2} ℏ}{2 mω} \cdot \frac{4 sin ^{2} ( ω t /2 )}{ω ^{2}} = \frac{2 F ^{2}}{m ℏ ω ^{3}} sin^{2} \frac{ω t}{2} .$
確率は時間とともに増え続けるのではなく、周期 $2 π / ω$ で振動する。この結果は $P ≪ 1$ 、つまり $F^{2} ≪ m ℏ ω^{3}$ のときに正しい。

答え: $\frac{2 F ^{2}}{m ℏ ω ^{3}} sin^{2} \frac{ω t}{2}$

よくある誤り

被積分関数の位相因子 $e^{i ω_{f i} t^{'}}$ を落とし、一定の摂動で $c_{f}^{(1)} = \frac{V _{f i} t}{i ℏ}$ （確率が $t^{2}$ で増え続ける）としてしまう誤り。正しくは $c_{f}^{(1)} = \frac{V _{f i}}{i ℏ} \frac{e ^{i ω_{f i} t} - 1}{i ω _{f i}}$ で、 $P = \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( ω _{f i} t /2 )}{( ω _{f i} /2 ) ^{2}}$ と振動する（ $t^{2}$ に比例するのは $ω_{f i} t ≪ 1$ の短時間だけ）。
遷移確率で $\frac{1}{ℏ}$ を 1 乗のまま残し $P = \frac{1}{ℏ} ∣ \int \dots ∣^{2}$ としてしまう誤り。 $c_{f}^{(1)}$ に $\frac{1}{i ℏ}$ があるので、正しくは $P = \frac{1}{ℏ ^{2}} \int ⟨ f ∣ H^{'} ∣ i ⟩ e^{i ω_{f i} t^{'}} d t^{'}^{2}$ 。
$H^{'} = V cos ω t$ の共鳴で係数を $\frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}}$ としてしまう誤り。 $cos ω t = \frac{1}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ の片方の項だけが共鳴するので振幅に $\frac{1}{2}$ が付き、正しくは $P \approx \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{4 ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ （ $Δ = ω_{f i} - ω$ ）。
位相因子の符号を $e^{- i ω_{f i} t^{'}}$ とし、 $ω_{f i} = (E_{f} - E_{i}) /ℏ$ の向きを取り違える誤り。正しくは $e^{+ i ω_{f i} t^{'}}$ で、 $H^{'} = V cos ω t$ では $E_{f} > E_{i}$ （吸収）のとき $ω \approx + ω_{f i}$ で共鳴する。符号を誤ると、どちらの項を残すかを間違える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
無摂動ハミルトニアン $H_{0}$ の 2 つの固有状態 $∣1 ⟩$ , $∣2 ⟩$ （エネルギー $E_{1} < E_{2}$ ）をもつ系を考え、 $ω_{21} = \frac{E _{2} - E _{1}}{ℏ}$ とおく。時刻 $t < 0$ では摂動はなく、系は $∣1 ⟩$ にある。 $t \geq 0$ で時間に依存する摂動 $H^{'} (t)$ がはたらき、その行列要素は
$⟨ 2∣ H^{'} (t) ∣1 ⟩ = V_{0} e^{- t / τ} (t \geq 0)$
である。ただし $V_{0}$ は実定数、 $τ > 0$ は定数とする。
時間に依存する摂動論の 1 次の範囲で、十分時間がたった後（ $t \to \infty$ ）に系が $∣2 ⟩$ に見いだされる確率 $P_{1 \to 2}$ を $V_{0}, τ, ω_{21}, ℏ$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$V_{0} (x) = - α δ (x) (α > 0)$
の中を運動している。このポテンシャルには束縛状態がただ 1 つ存在する。時刻 $t < 0$ で粒子はこの束縛状態にあり、 $t \geq 0$ で一様な振動電場による摂動
$H^{'} (t) = F x cos ω t$
が加わる。ここで $F$ は十分小さい実定数、 $ω > 0$ は $ℏ ω > \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$ を満たすとする（ $ℏ$ はディラック定数）。
時間に依存する摂動論の 1 次（フェルミの黄金律）を用いて、十分長い時間が経ったときの、束縛状態から連続状態（散乱状態）への単位時間あたりの遷移確率（電離率） $Γ$ を、 $F, α, m, ℏ, ω$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

フェルミの黄金律と連続状態への遷移率（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））