フェルミの黄金律と連続状態への遷移率

長時間で $\frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}} \to 2 π t δ (Δ)$ となることから遷移率 $Γ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ ⟨ f ∣ V ∣ i ⟩ ∣^{2} ρ (E_{f})$ を導き、1 次元・3 次元の連続状態の状態密度（箱規格化や $δ$ 規格化）と組み合わせて、振動電場による電離率や自然放出率などを求められる

前提

時間に依存する摂動論（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））

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算数中学高校大学大学院

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時間に依存する摂動論（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））

説明

離散的な始状態 $∣ i ⟩$ から、エネルギーが連続的に分布する終状態（自由粒子の状態、光子の状態など）へ摂動によって移る確率が、時間に比例して増えることを示し、その比例係数である遷移率（単位時間あたりの遷移確率） $Γ$ を求める技能です。結果はフェルミの黄金律 $Γ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ ⟨ f ∣ V ∣ i ⟩ ∣^{2} ρ (E_{f})$ にまとまります。原子の電離率、不安定な状態の崩壊率、自然放出率など、「状態が一定の割合で失われていく」現象の速さを計算するときに使います。

なぜそうしてよいのか

一定の摂動 $V$ を時刻 $0$ に入れたとき、1 次の摂動論では終状態 $∣ f ⟩$ にいる確率は $P_{f} (t) = \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ 、 $Δ = ω_{f i} = (E_{f} - E_{i}) /ℏ$ です（ $V_{f i} = ⟨ f ∣ V ∣ i ⟩$ ）。関数 $F_{t} (Δ) = \frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ は $Δ = 0$ で高さ $t^{2}$ 、幅はおよそ $4 π / t$ の鋭い山です。その面積は $x = Δ t /2$ と置換して $\int_{- \infty}^{\infty} F_{t} d Δ = 2 t \int_{- \infty}^{\infty} \frac{s i n ^{2} x}{x ^{2}} d x = 2 π t$ （ $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{s i n ^{2} x}{x ^{2}} d x = π$ を使う）なので、 $t$ が大きいと山は面積 $2 π t$ を保ったまま細くなり、 $F_{t} (Δ) \to 2 π t δ (Δ)$ と見なせます。ここで $δ$ はディラックのデルタ関数（なめらかな $g$ に対して $\int g (Δ) δ (Δ) d Δ = g (0)$ となるもの）です。

終状態が連続的に並んでいるときは、1 つの $∣ f ⟩$ ではなく、エネルギー $E_{i}$ 付近の終状態すべてへの確率の和が意味を持ちます。エネルギー $E$ と $E + d E$ の間にある状態の数を $ρ (E) d E$ と書く（ $ρ$ を状態密度という）と、和は $\sum_{f} \to \int ρ (E_{f}) d E_{f}$ に置き換わります。 $δ (Δ) = δ ((E_{f} - E_{i}) /ℏ) = ℏ δ (E_{f} - E_{i})$ を使うと
$P (t) = \int ρ (E_{f}) \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}} 2 π t ℏ δ (E_{f} - E_{i}) d E_{f} = \frac{2 π}{ℏ} ∣ V_{f i} ∣^{2} ρ (E_{i}) t$
となり、確率は時間に比例します。その傾き $Γ = d P / d t$ が黄金律です。個々の状態への確率は $t^{2}$ で増えますが、山の幅が $1/ t$ で縮んで山に入る状態の数が減るため、合計が $t$ に比例するのです。

この近似が成り立つのは、山の幅 $ℏ \cdot 4 π / t$ が、 $ρ$ や $∣ V_{f i} ∣^{2}$ がエネルギーとともに変わる幅よりずっと小さくなるほど $t$ が長く、しかも $P (t) ≪ 1$ （1 次摂動論が使える）であるほど $t$ が短い範囲です。振動する摂動 $H^{'} = V cos ω t = \frac{V}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ では、吸収側の項だけが共鳴し、行列要素が $V_{f i} /2$ になるので $Γ = \frac{2 π}{ℏ} \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{4} ρ (E_{i} + ℏ ω)$ となります。状態密度は、たとえば 1 辺 $L$ の箱で周期境界条件を課すと波数が $k_{x} = 2 π n_{x} / L$ （ $n_{x}$ は整数）と飛び飛びになることから数えます（箱規格化）。3 次元の自由粒子 $E = p^{2} /2 m$ （スピンを数えない）では、運動量の大きさが $p$ 以下の状態数 $N = (\frac{L}{2 π ℏ})^{3} \frac{4 π}{3} p^{3}$ を $E$ で微分して $ρ (E) = \frac{L ^{3} m p}{2 π ^{2} ℏ ^{3}}$ （ $p = 2 m E$ ）を得ます。

手順

始状態 $∣ i ⟩$ （エネルギー $E_{i}$ ）、終状態の連続体 $∣ f ⟩$ 、摂動の形（一定の $V$ か、 $V cos ω t$ か）を確認し、エネルギー保存で決まる終状態のエネルギー $E_{f}$ （一定の摂動なら $E_{f} = E_{i}$ 、吸収なら $E_{f} = E_{i} + ℏ ω$ ）を求める
行列要素 $V_{f i} = ⟨ f ∣ V ∣ i ⟩$ を、終状態の規格化（箱規格化なら体積 $L^{3}$ で規格化）に合わせて計算する。 $V cos ω t$ の場合は $V_{f i} /2$ を使う
終状態の状態密度 $ρ (E)$ を、同じ規格化のもとで数える。3 次元自由粒子なら $ρ (E) = \frac{L ^{3} m p}{2 π ^{2} ℏ ^{3}}$ 、 $p = 2 m E$ （方向も含めて全部数える場合）
黄金律 $Γ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ V_{f i} ∣^{2} ρ (E_{f})$ に代入する。 $V_{f i}$ が終状態の向きによるときは、向きごとに分けて数えた状態密度で足し合わせる（角度で積分する）
規格化の長さ $L$ が消えていることを確かめ、次元が $[時間]^{- 1}$ になっているか確認する

例題

質量 $m$ の粒子について、エネルギー $E_{0} > 0$ の離散的な状態 $∣ i ⟩$ が、一定の摂動 $V$ によって 3 次元の自由粒子の状態 $∣ k ⟩$ （エネルギー $\frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$ 、1 辺 $L$ の立方体で周期境界条件を課して箱規格化したもの、スピンは考えない）へ遷移する。行列要素は向きによらず $⟨ k ∣ V ∣ i ⟩ = \frac{g}{L ^{3/2}}$ （ $g$ は実定数）であるとする。遷移先の状態の運動量の大きさを $p_{0} = 2 m E_{0}$ とおく。フェルミの黄金律により、状態 $∣ i ⟩$ からの遷移率 $Γ$ を $g, m, p_{0}, ℏ$ で表せ。

例題の解答

手順 1: 摂動は一定なので、遷移先は $E_{f} = E_{0}$ 、すなわち運動量の大きさ $p_{0} = 2 m E_{0}$ の状態です。

手順 2: 行列要素は $∣ V_{f i} ∣^{2} = \frac{g ^{2}}{L ^{3}}$ です。

手順 3: 箱規格化では波数が $\frac{2 π}{L}$ 間隔の格子点に並ぶので、運動量 $p = ℏ k$ の空間で体積 $(\frac{2 π ℏ}{L})^{3}$ ごとに 1 状態です。大きさ $p$ 以下の状態数は $N = \frac{L ^{3}}{( 2 π ℏ ) ^{3}} \cdot \frac{4 π}{3} p^{3}$ 。 $E = \frac{p ^{2}}{2 m}$ より $\frac{d p}{d E} = \frac{m}{p}$ なので
$ρ (E) = \frac{d N}{d E} = \frac{L ^{3}}{2 π ^{2} ℏ ^{3}} p^{2} \cdot \frac{m}{p} = \frac{L ^{3} m p}{2 π ^{2} ℏ ^{3}} .$
$E = E_{0}$ では $ρ (E_{0}) = \frac{L ^{3} m p _{0}}{2 π ^{2} ℏ ^{3}}$ 。

手順 4: 行列要素は向きによらないので、全方向の状態密度をそのまま使えます。
$Γ = \frac{2 π}{ℏ} \cdot \frac{g ^{2}}{L ^{3}} \cdot \frac{L ^{3} m p _{0}}{2 π ^{2} ℏ ^{3}} = \frac{g ^{2} m p _{0}}{π ℏ ^{4}} .$

手順 5: $L$ は消えています。次元は、 $g / L^{3/2}$ がエネルギーなので $g^{2}$ は [エネルギー] $^{2}$ [長さ] $^{3}$ 、 $m p_{0}$ は [質量][運動量] であり、 $ℏ$ は [エネルギー][時間]、[運動量][長さ] なので、 $\frac{g ^{2} m p _{0}}{ℏ ^{4}}$ は確かに [時間] $^{- 1}$ になります。

答え: $\frac{g ^{2} m p _{0}}{π ℏ ^{4}}$

よくある誤り

振動する摂動 $H^{'} = V cos ω t$ で、行列要素をそのまま $∣ V_{f i} ∣^{2}$ として使ってしまう誤り。正しくは $cos ω t = \frac{1}{2} (e^{iω t} + e^{- iω t})$ のうち共鳴する一方の項だけが効くので、 $Γ = \frac{2 π}{ℏ} \frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{4} ρ (E_{i} + ℏ ω)$ （吸収の場合）となる。
$\frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}} \to 2 π t δ (Δ)$ を $2 π t δ (E_{f} - E_{i})$ と書き換えてしまい、 $ℏ$ を 1 つ落とす誤り。正しくは $Δ = (E_{f} - E_{i}) /ℏ$ なので $δ (Δ) = ℏ δ (E_{f} - E_{i})$ であり、 $\frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}} \cdot 2 π t ℏ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ V_{f i} ∣^{2} t$ となる。
状態密度として波数あたりの密度 $\frac{d N}{d k}$ を使ったり、行列要素と状態密度で規格化をそろえなかったりする誤り。正しくは黄金律の $ρ$ はエネルギーあたりの密度 $\frac{d N}{d E}$ で、箱規格化なら $∣ V_{f i} ∣^{2} \propto L^{- 3}$ 、 $ρ \propto L^{3}$ として $L$ が消えることを確かめる（3 次元自由粒子では $ρ (E) = \frac{L ^{3} m p}{2 π ^{2} ℏ ^{3}}$ 、 $p = 2 m E$ ）。
終状態が離散的な 1 つの準位でも $Γ = \frac{2 π}{ℏ} ∣ V_{f i} ∣^{2} ρ$ が使えると考える誤り。離散準位への確率は $\frac{∣ V _{f i} ∣ ^{2}}{ℏ ^{2}} \frac{s i n ^{2} ( Δ t /2 )}{( Δ/2 ) ^{2}}$ のまま振動し時間に比例しない。黄金律は終状態が連続的に分布し、 $t$ が十分長く、かつ $P (t) ≪ 1$ の範囲でだけ成り立つ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
エネルギー $E_{0} > 0$ の離散的な状態 $∣ i ⟩$ が、摂動 $V$ （時間によらない）によって 1 次元の自由粒子（質量 $m$ ）の連続状態に崩壊する。自由粒子の状態は長さ $L$ の周期境界条件で箱規格化し、
$⟨ x ∣ k ⟩ = \frac{1}{L} e^{ik x}, k = \frac{2 π n}{L} (n は整数), E_{k} = \frac{ℏ ^{2} k ^{2}}{2 m}$
とする。行列要素は $k$ によらず $⟨ k ∣ V ∣ i ⟩ = \frac{g}{L}$ （ $g$ は実定数）であるとする。
$L$ が十分大きいとして、フェルミの黄金律により $∣ i ⟩$ から連続状態への遷移率 $Γ$ （単位時間あたりの遷移確率）を $g, m, E_{0}, ℏ$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
質量 $m$ の粒子が 1 次元のポテンシャル
$V_{0} (x) = - α δ (x) (α > 0)$
の中を運動している。このポテンシャルには束縛状態がただ 1 つ存在する。時刻 $t < 0$ で粒子はこの束縛状態にあり、 $t \geq 0$ で一様な振動電場による摂動
$H^{'} (t) = F x cos ω t$
が加わる。ここで $F$ は十分小さい実定数、 $ω > 0$ は $ℏ ω > \frac{m α ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$ を満たすとする（ $ℏ$ はディラック定数）。
時間に依存する摂動論の 1 次（フェルミの黄金律）を用いて、十分長い時間が経ったときの、束縛状態から連続状態（散乱状態）への単位時間あたりの遷移確率（電離率） $Γ$ を、 $F, α, m, ℏ, ω$ を用いて表せ。