縮退がある場合の摂動論

縮退した準位の部分空間で摂動 $H^{'}$ の行列をつくって対角化し、準位の分裂（1 次のエネルギーのずれ）を求められる

前提

縮退のない場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））

この技能までの道筋（120 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
縮退のない場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
オイラーの公式（大学数学微分積分）
三角関数の合成（数学II 三角関数）
定数係数 2 階線形（斉次）（大学数学微分方程式）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（大学物理量子力学（1 次元の問題））
境界値問題と固有値（大学数学微分方程式）
無限に深い井戸型ポテンシャル（大学物理量子力学（1 次元の問題））

説明

無摂動のハミルトニアン $H_{0}$ のある準位 $E^{(0)}$ に、互いに一次独立な固有状態が $g$ 個（ $g \geq 2$ ）あるとき、この準位は $g$ 重に縮退しているといいます。この技能では、縮退した $g$ 個の状態の間で摂動 $H^{'}$ の行列要素を並べた $g \times g$ 行列をつくり、その固有値を求めることで、摂動によって準位がいくつに分かれ、それぞれどれだけずれるか（1 次のエネルギーのずれ）を求められるようになります。2・3 次元の箱や原子の準位に外場がかかって縮退が解ける（準位が分裂する）場面で使います。

なぜそうしてよいのか

縮退のない場合の 2 次のずれには分母 $E_{n}^{(0)} - E_{k}^{(0)}$ が現れますが、縮退していると同じエネルギーの状態どうしでこの分母が 0 になり、公式がそのままでは使えません。そもそも縮退した準位では、固有状態 $∣1 ⟩, \dots, ∣ g ⟩$ のどんな一次結合も $H_{0}$ の同じ固有値の固有状態なので、「摂動を弱くしていったときにどの状態に近づくか」が最初からは決まっていません。この「正しい 0 次の状態」を探すことが問題の中心です。

摂動後の固有状態を、0 次では縮退した状態の一次結合 $∣ ψ ⟩ \approx \sum_{j = 1}^{g} a_{j} ∣ j ⟩$ 、エネルギーを $E \approx E^{(0)} + E^{(1)}$ とおきます。 $(H_{0} + H^{'}) ∣ ψ ⟩ = E ∣ ψ ⟩$ に左から $⟨ i ∣$ （ $i = 1, \dots, g$ ）を掛けると、 $⟨ i ∣ H_{0} = E^{(0)} ⟨ i ∣$ により $E^{(0)}$ の項が両辺で打ち消し合い、1 次の量だけを残すと
$j = 1 \sum g ⟨ i ∣ H^{'} ∣ j ⟩ a_{j} = E^{(1)} a_{i} (i = 1, \dots, g)$
が得られます。これは行列 $W_{ij} = ⟨ i ∣ H^{'} ∣ j ⟩$ の固有値問題そのものです。したがって 1 次のずれ $E^{(1)}$ は $W$ の固有値で、正しい 0 次の状態は対応する固有ベクトル $(a_{1}, \dots, a_{g})$ が表す一次結合です。

$H^{'}$ はエルミート（ $W_{j i} = W_{ij}^{*}$ ）なので、 $W$ の固有値は実数で、 $W$ は必ず対角化できます。固有値が互いに異なれば $g$ 重の準位は $g$ 本に分裂し、重解が残ればその分だけ縮退が 1 次では解けずに残ります。 $W$ がはじめから対角行列なら、対角成分 $⟨ i ∣ H^{'} ∣ i ⟩$ がそのままずれになり、縮退のない場合の式と同じ形になります。

手順

縮退した準位の、規格化され互いに直交する固有状態 $∣1 ⟩, \dots, ∣ g ⟩$ をすべて挙げる（縮退度 $g$ を確認する）
行列要素 $W_{ij} = ⟨ i ∣ H^{'} ∣ j ⟩$ を積分などで計算し、 $g \times g$ 行列 $W$ をつくる。 $W_{j i} = W_{ij}^{*}$ を使えば計算を減らせる
固有方程式 $det (W - E^{(1)} I) = 0$ を解いて、固有値 $E^{(1)}$ をすべて求める
分裂した準位を $E = E^{(0)} + E^{(1)}$ として書く。必要なら固有ベクトルから正しい 0 次の状態 $\sum a_{j} ∣ j ⟩$ を求める

例題

1 辺 $L$ の正方形の 2 次元の箱（ $0 \leq x \leq L$ , $0 \leq y \leq L$ 、箱の外でポテンシャル無限大）に閉じ込められた質量 $m$ の粒子を考える。無摂動の固有関数は $ψ_{n_{x} n_{y}} (x, y) = \frac{2}{L} sin \frac{n _{x} π x}{L} sin \frac{n _{y} π y}{L}$ 、エネルギーは $E_{n_{x} n_{y}} = \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} (n_{x}^{2} + n_{y}^{2})$ である。ここに摂動 $H^{'} = α x y$ （ $α > 0$ は定数）を加える。第 1 励起準位（ $(n_{x}, n_{y}) = (1, 2), (2, 1)$ の 2 重縮退）は 1 次の摂動で 2 本に分裂する。その 2 本のエネルギーの差を、1 次の摂動の範囲で $α$ , $L$ を用いて表せ。

例題の解答

手順 1：縮退した状態は $∣1 ⟩ = ψ_{12}$ , $∣2 ⟩ = ψ_{21}$ の 2 つ（ $g = 2$ ）。1 次元の固有関数を $u_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ と書くと、 $ψ_{12} = u_{1} (x) u_{2} (y)$ , $ψ_{21} = u_{2} (x) u_{1} (y)$ 。

手順 2： $H^{'} = α x y$ は $x$ の部分と $y$ の部分の積なので、行列要素は 1 次元の積分 $x_{k l} = \int_{0}^{L} u_{k} (x) x u_{l} (x) d x$ の積になる。
- $u_{n}^{2}$ は $x = \frac{L}{2}$ について対称なので $x_{11} = x_{22} = \frac{L}{2}$ 。
- $x_{12}$ は、 $u = \frac{π x}{L}$ と置換し、 $sin u sin 2 u = \frac{1}{2} (cos u - cos 3 u)$ を使うと
$x_{12} = \frac{2 L}{π ^{2}} \int_{0}^{π} u sin u sin 2 u d u = \frac{L}{π ^{2}} (\int_{0}^{π} u cos u d u - \int_{0}^{π} u cos 3 u d u)$
部分積分で $\int_{0}^{π} u cos k u d u = \frac{cos k π - 1}{k ^{2}}$ なので、 $k = 1$ で $- 2$ 、 $k = 3$ で $- \frac{2}{9}$ 。よって $x_{12} = \frac{L}{π ^{2}} (- 2 + \frac{2}{9}) = - \frac{16 L}{9 π ^{2}}$ 。

したがって
$W_{11} = α x_{11} x_{22} = \frac{α L ^{2}}{4}, W_{22} = α x_{22} x_{11} = \frac{α L ^{2}}{4}, W_{12} = W_{21} = α x_{12} x_{21} = α (\frac{16 L}{9 π ^{2}})^{2} = \frac{256 α L ^{2}}{81 π ^{4}}$

手順 3： $W = (a b b a)$ （ $a = \frac{α L ^{2}}{4}$ , $b = \frac{256 α L ^{2}}{81 π ^{4}}$ ）の固有方程式 $(a - E^{(1)})^{2} - b^{2} = 0$ より $E^{(1)} = a \pm b$ 。固有ベクトルは $\frac{1}{2} (1, \pm 1)$ で、正しい 0 次の状態は $\frac{1}{2} (ψ_{12} \pm ψ_{21})$ 。

手順 4：分裂した準位は $E = \frac{5 π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} + \frac{α L ^{2}}{4} \pm \frac{256 α L ^{2}}{81 π ^{4}}$ 。2 本の差は
$2 b = \frac{512 α L ^{2}}{81 π ^{4}}$

答え: $\frac{512 α L ^{2}}{81 π ^{4}}$

よくある誤り

縮退した状態それぞれに縮退のない場合の式 $E^{(1)} = ⟨ i ∣ H^{'} ∣ i ⟩$ をそのまま使ってしまう誤り。上の例では $⟨ 1∣ H^{'} ∣1 ⟩ = ⟨ 2∣ H^{'} ∣2 ⟩ = \frac{α L ^{2}}{4}$ となり分裂しないように見えるが、非対角成分 $W_{12} \neq = 0$ を含めて行列を対角化すると、正しくは $\frac{α L ^{2}}{4} \pm \frac{256 α L ^{2}}{81 π ^{4}}$ に分裂する
縮退した状態の数え落としで、行列が小さすぎる誤り。たとえば 3 次元の立方体の箱の準位 $(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1)$ は 3 重縮退なので、 $W$ は $3 \times 3$ 行列でなければならない
1 次のずれとして $W$ の固有値ではなく対角成分や行列式・固有ベクトルの成分を答えてしまう誤り。正しくは $det (W - E^{(1)} I) = 0$ の解がずれで、2 重縮退で $W = (a b^{*} b d)$ なら $E^{(1)} = \frac{a + d}{2} \pm (\frac{a - d}{2})^{2} + ∣ b ∣^{2}$
非対角成分 $W_{21}$ を $W_{12}$ と同じ値とし、複素数のときも共役をとらないでしまう誤り。正しくは $W_{21} = W_{12}^{*}$ で、固有方程式には $∣ W_{12} ∣^{2}$ が現れる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
非摂動ハミルトニアン $H_{0}$ のあるエネルギー準位 $E^{(0)}$ が 2 重に縮退しており、その固有空間の正規直交基底を $∣ a ⟩$ , $∣ b ⟩$ とする。この系に摂動 $H^{'}$ が加わり、この 2 つの状態の間の行列要素が
$⟨ a ∣ H^{'} ∣ a ⟩ = V_{0}, ⟨ b ∣ H^{'} ∣ b ⟩ = - 2 V_{0}, ⟨ a ∣ H^{'} ∣ b ⟩ = ⟨ b ∣ H^{'} ∣ a ⟩ = 2 V_{0}$
であるとする（ $V_{0} > 0$ は定数）。
縮退がある場合の 1 次の摂動論により、準位 $E^{(0)}$ は 2 つに分裂する。それぞれの 1 次のエネルギーのずれを、大きい方、小さい方の順に組で $V_{0}$ を用いて答えよ。

縮退がある場合の摂動論

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題