量子力学（角運動量・近似法）の問題

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $H_0$ のエネルギー固有状態を $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$）、固有値を $E_n^{(0)}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とする。位置演算子は消滅・生成演算子 $\hat{a}$, ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
と表される。

この振動子に一様な力 $F$（定数）を加え、摂動 $H^{\prime }=-F\hat{x}$ が加わったとする。基底状態 $|0⟩$ のエネルギーの 2 次の摂動によるずれ
$$E_0^{(2)}=\sum _{k\ne 0}\frac{|⟨k|H^{\prime }|0⟩{|}^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}$$
を、$F$, $m$, $\omega$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中に、スピンをもたない質量 $m$ の同種ボース粒子が 2 個ある。$\alpha =\frac{m\omega }{\hslash }$ とおくと、1 粒子の基底状態と第 1 励起状態の規格化された実数の固有関数は
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-\alpha x^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}\sqrt{2\alpha }x{e}^{-\alpha x^2/2}$$
である。2 個の粒子が ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ を 1 個ずつ占める状態は、対称化した波動関数
$$\Psi (x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\{{\phi }_0(x_1){\phi }_1(x_2)+{\phi }_1(x_1){\phi }_0(x_2)\}$$
で表される。

この 2 粒子の間に接触相互作用 $H^{\prime }=g\delta (x_1-x_2)$（$g$ は正の定数）がはたらくとき、この状態のエネルギーの 1 次の摂動によるずれ $⟨\Psi |H^{\prime }|\Psi ⟩$ を、$g$, $m$, $\omega$, $\hslash$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2a^{3/2}}$（$a>0$）を用いてよい。

幅 $L$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中に、質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子が 5 個入っている。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は
$$E_n=n^2{E}_1\left(n=1,2,3,\dots ,E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\right)$$
であり、各準位にはスピンの向き $S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$ の 2 つの状態がある。

この 5 粒子系の基底状態のエネルギーは $E_1$ の何倍か。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
のエネルギー固有値は $E_n^{(0)}=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$（$n=0,1,2,\dots$）、規格化された固有状態は $|n⟩$ である。生成・消滅演算子 $a^{†}$, $a$ を用いると
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†}),a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
が成り立つ。

この系に摂動 $H^{\prime }=\kappa x$（$\kappa$ は実定数）を加える。第 1 励起状態 $|1⟩$ のエネルギーの、$\kappa$ についての 2 次の摂動によるずれ $E_1^{(2)}$ を、非縮退摂動論を用いて $m$, $\omega$, $\kappa$ で表せ。ただし $m>0$, $\omega >0$ とする。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$（$\omega >0$）の中にあり、ハミルトニアンは
$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
である。正の実数のパラメータ $a$ を含む試行関数
$${\psi }_a(x)=e^{-a|x|}(-\infty <x<\infty )$$
を用いて、変分法で基底状態のエネルギーの上限を求める。ただし、運動エネルギーの期待値は
$$⟨T⟩=\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|{\psi }_a^{\prime }(x){|}^{2}dx}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|{\psi }_a(x){|}^{2}dx}$$
で計算してよい（$x=0$ での ${\psi }_a^{\prime }$ の不連続は考えなくてよい）。また、${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-bx}dx=\frac{n!}{b^{n+1}}$（$b>0$, $n$ は 0 以上の整数）を用いてよい。

$⟨H⟩=\frac{⟨{\psi }_a|H|{\psi }_a⟩}{⟨{\psi }_a|{\psi }_a⟩}$ を $a>0$ の範囲で最小にしたときの最小値を、$\hslash$, $\omega$ を用いて表せ。