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量子力学（角運動量・近似法）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理量子力学（角運動量・近似法）

質量 $m$ の粒子が 1 次元の調和振動子ポテンシャル $V (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ （ $ω > 0$ ）の中にあり、ハミルトニアンは
$H = - \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \frac{d ^{2}}{d x ^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$
である。正の実数のパラメータ $a$ を含む試行関数
$ψ_{a} (x) = e^{- a ∣ x ∣} (- \infty < x < \infty)$
を用いて、変分法で基底状態のエネルギーの上限を求める。ただし、運動エネルギーの期待値は
$⟨ T ⟩ = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{\int _{- \infty}^{\infty} ∣ ψ _{a}^{'} ( x ) ∣ ^{2} d x}{\int _{- \infty}^{\infty} ∣ ψ _{a} ( x ) ∣ ^{2} d x}$
で計算してよい（ $x = 0$ での $ψ_{a}^{'}$ の不連続は考えなくてよい）。また、 $\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{- b x} d x = \frac{n !}{b ^{n + 1}}$ （ $b > 0$ , $n$ は 0 以上の整数）を用いてよい。

$⟨ H ⟩ = \frac{⟨ ψ _{a} ∣ H ∣ ψ _{a} ⟩}{⟨ ψ _{a} ∣ ψ _{a} ⟩}$ を $a > 0$ の範囲で最小にしたときの最小値を、 $ℏ$ , $ω$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

変分法（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（92 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

変分法の技能を使う。試行関数で $⟨ T ⟩$ と $⟨ V ⟩$ を $a$ の式で表し、その和を $a$ について最小化する。

ヒント 2

$⟨ ψ_{a} ∣ ψ_{a} ⟩ = \frac{1}{a}$ 、 $\int ∣ ψ_{a}^{'} ∣^{2} d x = a$ 、 $\int x^{2} e^{- 2 a ∣ x ∣} d x = \frac{1}{2 a ^{3}}$ となる（偶関数なので $0$ から $\infty$ の積分の 2 倍）。

ヒント 3

$⟨ H ⟩ = \frac{ℏ ^{2} a ^{2}}{2 m} + \frac{m ω ^{2}}{4 a ^{2}}$ 。これを $a$ で微分して $0$ とおくと $a^{2} = \frac{mω}{2 ℏ}$ 。

答えと解説

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\frac{2}{2} ℏ ω

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解説を読む

規格化の積分

$∣ ψ_{a} ∣^{2} = e^{- 2 a ∣ x ∣}$ は偶関数なので
$⟨ ψ_{a} ∣ ψ_{a} ⟩ = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- 2 a x} d x = 2 \cdot \frac{1}{2 a} = \frac{1}{a}$

運動エネルギーの期待値

$x > 0$ で $ψ_{a}^{'} = - a e^{- a x}$ 、 $x < 0$ で $ψ_{a}^{'} = a e^{a x}$ なので、どちらでも $∣ ψ_{a}^{'} ∣^{2} = a^{2} e^{- 2 a ∣ x ∣}$ 。よって
$\int_{- \infty}^{\infty} ∣ ψ_{a}^{'} ∣^{2} d x = a^{2} \cdot \frac{1}{a} = a, ⟨ T ⟩ = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{a}{1/ a} = \frac{ℏ ^{2} a ^{2}}{2 m}$

位置エネルギーの期待値
$\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} e^{- 2 a ∣ x ∣} d x = 2 \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- 2 a x} d x = 2 \cdot \frac{2 !}{( 2 a ) ^{3}} = \frac{1}{2 a ^{3}}$
より
$⟨ x^{2} ⟩ = \frac{1/ ( 2 a ^{3} )}{1/ a} = \frac{1}{2 a ^{2}}, ⟨ V ⟩ = \frac{1}{2} m ω^{2} \cdot \frac{1}{2 a ^{2}} = \frac{m ω ^{2}}{4 a ^{2}}$

$⟨ H ⟩$ を最小にする
$E (a) = ⟨ H ⟩ = \frac{ℏ ^{2} a ^{2}}{2 m} + \frac{m ω ^{2}}{4 a ^{2}}$
$a$ で微分して $0$ とおくと
$E^{'} (a) = \frac{ℏ ^{2} a}{m} - \frac{m ω ^{2}}{2 a ^{3}} = 0 ∴ a^{4} = \frac{m ^{2} ω ^{2}}{2 ℏ ^{2}}, a^{2} = \frac{mω}{2 ℏ}$
$E^{'} (a)$ はこの $a$ の前後で負から正に変わるので、ここで最小になる。代入すると
$E_{m i n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{mω}{2 ℏ} + \frac{m ω ^{2}}{4} \cdot \frac{2 ℏ}{mω} = \frac{ℏ ω}{2 2} + \frac{2 ℏ ω}{4} = \frac{2}{4} ℏ ω + \frac{2}{4} ℏ ω = \frac{2}{2} ℏ ω$

（変分原理により真の基底エネルギー $\frac{1}{2} ℏ ω$ 以上になるはずで、 $\frac{2}{2} ℏ ω \approx 0.707ℏ ω$ はたしかに上限になっている。）

別解

規格化積分: $\int ∣ ψ_{a} ∣^{2} d x = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- 2 a x} d x = \frac{1}{a}$ 。
$ψ_{a}^{'} = - a sgn (x) e^{- a ∣ x ∣}$ より $\int ∣ ψ_{a}^{'} ∣^{2} d x = a^{2} \cdot \frac{1}{a} = a$ 。
$⟨ T ⟩ = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{a}{1/ a} = \frac{ℏ ^{2} a ^{2}}{2 m} .$
$⟨ V ⟩ = \frac{1}{2} m ω^{2} \cdot \frac{2 \int _{0}^{\infty} x ^{2} e ^{- 2 a x} d x}{1/ a} = \frac{1}{2} m ω^{2} \cdot a \cdot 2 \cdot \frac{2}{( 2 a ) ^{3}} = \frac{m ω ^{2}}{4 a ^{2}} .$
よって
$E (a) = \frac{ℏ ^{2} a ^{2}}{2 m} + \frac{m ω ^{2}}{4 a ^{2}} .$
$\frac{d E}{d a} = \frac{ℏ ^{2} a}{m} - \frac{m ω ^{2}}{2 a ^{3}} = 0$ より $a^{4} = \frac{m ^{2} ω ^{2}}{2 ℏ ^{2}}$ 、 $a^{2} = \frac{mω}{2 ℏ}$ （ $a > 0$ ）。これは最小（ $E \to \infty$ for $a \to 0, \infty$ ）。
$E_{m i n} = \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{mω}{2 ℏ} + \frac{m ω ^{2}}{4} \cdot \frac{2 ℏ}{mω} = \frac{ℏ ω}{2 2} + \frac{2 ℏ ω}{4} = \frac{2}{2} ℏ ω = \frac{ℏ ω}{2} .$
検算: 算術幾何平均より $E \geq 2 \frac{ℏ ^{2}}{2 m} \cdot \frac{m ω ^{2}}{4} = 2ℏ ω \frac{1}{8} = \frac{ℏ ω}{2}$ で一致。 $\approx 0.707ℏ ω \geq \frac{1}{2} ℏ ω$ （真の基底エネルギー）で変分原理とも矛盾しない。

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