量子力学（角運動量・近似法）

スピン $1/2$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とし、$S_z$ の固有状態を基底とする表示で、パウリ行列の $x$ 成分を
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
とする。粒子のスピン状態が
$$\chi =\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$$
であるとき、$S_x$ を測定して $+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を既約分数で求めよ。

角運動量演算子 $\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)$ について、${\mathbf{J}}^2$ と $J_z$ の規格化された同時固有状態を $|j,m⟩$ とする（${\mathbf{J}}^2|j,m⟩=j(j+1){\hslash }^2|j,m⟩$, $J_z|j,m⟩=m\hslash |j,m⟩$）。昇降演算子 $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y$ は
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$$
とはたらき、$|j,m⟩$ どうしは $m$ が異なれば直交する。

状態 $|2,1⟩$（$j=2$, $m=1$）における $J_x^2$ の期待値 $⟨2,1|J_x^2|2,1⟩$ を $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $H_0$ のエネルギー固有状態を $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$）、固有値を $E_n^{(0)}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とする。位置演算子は消滅・生成演算子 $\hat{a}$, ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
と表される。

この振動子に一様な力 $F$（定数）を加え、摂動 $H^{\prime }=-F\hat{x}$ が加わったとする。基底状態 $|0⟩$ のエネルギーの 2 次の摂動によるずれ
$$E_0^{(2)}=\sum _{k\ne 0}\frac{|⟨k|H^{\prime }|0⟩{|}^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}$$
を、$F$, $m$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$（$\omega >0$）の中にあり、ハミルトニアンは
$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
である。正の実数のパラメータ $a$ を含む試行関数
$${\psi }_a(x)=e^{-a|x|}(-\infty <x<\infty )$$
を用いて、変分法で基底状態のエネルギーの上限を求める。ただし、運動エネルギーの期待値は
$$⟨T⟩=\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|{\psi }_a^{\prime }(x){|}^{2}dx}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|{\psi }_a(x){|}^{2}dx}$$
で計算してよい（$x=0$ での ${\psi }_a^{\prime }$ の不連続は考えなくてよい）。また、${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-bx}dx=\frac{n!}{b^{n+1}}$（$b>0$, $n$ は 0 以上の整数）を用いてよい。

$⟨H⟩=\frac{⟨{\psi }_a|H|{\psi }_a⟩}{⟨{\psi }_a|{\psi }_a⟩}$ を $a>0$ の範囲で最小にしたときの最小値を、$\hslash$, $\omega$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の V 字型ポテンシャル
$$V(x)=F|x|(F>0\text{は定数})$$
の中を運動している。エネルギー準位を WKB 近似の量子化条件
$$\oint pdx=2{\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\left(E-V(x)\right)}dx=\left(n+\frac{1}{2}\right)h(n=0,1,2,\dots )$$
で求める。ここで $x_1$, $x_2$（$x_1<x_2$）は $V(x)=E$ となる古典的な折り返し点、$h=2\pi \hslash$ はプランク定数である。

この量子化条件から得られる $n=0$ の準位を $E_0$、$n=1$ の準位を $E_1$ とするとき、比 $\frac{E_1}{E_0}$ を求めよ。

2 準位系の基底を $|1⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $|2⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ とし、ハミルトニアンを
$$H=\epsilon {\sigma }_z+\Delta {\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}\epsilon & \Delta \\ \Delta & -\epsilon \end{array}\right)$$
とする。ここで $\Delta >0$ で、$\epsilon =\sqrt{3}\Delta$ とする。

時刻 $t=0$ に系が状態 $|1⟩$ にあったとき、時刻 $t=\frac{\pi \hslash }{12\Delta }$ に系を状態 $|2⟩$ に見いだす確率を既約分数で求めよ。

軌道角運動量 $\mathbf{L}$（$l=1$）とスピン $\mathbf{S}$（$s=\frac{1}{2}$）を合成して $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ とする。$L_z$ の固有状態を $|l=1,m_l⟩$、$S_z$ の固有状態を $|\uparrow ⟩$（$m_s=\frac{1}{2}$）, $|\downarrow ⟩$（$m_s=-\frac{1}{2}$）と書き、積状態を $|m_l⟩|\uparrow ⟩$ などと表す。昇降演算子は角運動量 $j$ について
$$J_{-}|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j+m)(j-m+1)}|j,m-1⟩$$
とはたらき、$J_{-}=L_{-}+S_{-}$ である。合成した状態 $|J,M⟩$ のうち $|J=\frac{3}{2},M=\frac{3}{2}⟩=|1⟩|\uparrow ⟩$ とする。

積状態 $|0⟩|\uparrow ⟩$（$m_l=0$, $m_s=\frac{1}{2}$）にある系で ${\mathbf{J}}^2$ を測定したとき、$J=\frac{3}{2}$（すなわち ${\mathbf{J}}^2=\frac{15}{4}{\hslash }^2$）が得られる確率を既約分数で求めよ。

水素原子の $2p$ 状態（$n=2$, $l=1$）の動径波動関数は、ボーア半径を $a_0$ として
$$R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}{a}_0^{3/2}}\cdot \frac{r}{a_0}{e}^{-r/(2a_0)}(r\ge 0)$$
である。電子を原子核から距離 $r$ と $r+dr$ の間に見いだす確率は動径分布 $P(r)dr=r^2|R_{21}(r){|}^{2}dr$ で与えられる。

$P(r)$ が最大となる $r$ を $a_0$ を用いて表せ。

非摂動ハミルトニアン $H_0$ のあるエネルギー準位 $E^{(0)}$ が 2 重に縮退しており、その固有空間の正規直交基底を $|a⟩$, $|b⟩$ とする。この系に摂動 $H^{\prime }$ が加わり、この 2 つの状態の間の行列要素が
$$⟨a|H^{\prime }|a⟩=V_0,⟨b|H^{\prime }|b⟩=-2V_0,⟨a|H^{\prime }|b⟩=⟨b|H^{\prime }|a⟩=2V_0$$
であるとする（$V_0>0$ は定数）。

縮退がある場合の 1 次の摂動論により、準位 $E^{(0)}$ は 2 つに分裂する。それぞれの 1 次のエネルギーのずれを、大きい方、小さい方の順に組で $V_0$ を用いて答えよ。

幅 $L$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中に、質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子が 5 個入っている。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は
$$E_n=n^2{E}_1\left(n=1,2,3,\dots ,E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\right)$$
であり、各準位にはスピンの向き $S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$ の 2 つの状態がある。

この 5 粒子系の基底状態のエネルギーは $E_1$ の何倍か。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子 2 個からなる系のハミルトニアンが
$$H=A{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2$$
で与えられている。ここで ${\mathbf{\sigma }}_1,{\mathbf{\sigma }}_2$ はそれぞれの粒子のパウリ行列のベクトル、$A$ は正の定数（エネルギーの次元をもつ）である。全スピンを $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}({\mathbf{\sigma }}_1+{\mathbf{\sigma }}_2)$ とし、${\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2=2\left(\frac{{\mathbf{S}}^2}{{\hslash }^2}\right)-3$ が成り立つことを使ってよい。

三重項（全スピン $S=1$）のエネルギーから一重項（全スピン $S=0$）のエネルギーを引いた差を、$A$ を用いて表せ。

角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中に、スピンをもたない質量 $m$ の同種ボース粒子が 2 個ある。$\alpha =\frac{m\omega }{\hslash }$ とおくと、1 粒子の基底状態と第 1 励起状態の規格化された実数の固有関数は
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-\alpha x^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}\sqrt{2\alpha }x{e}^{-\alpha x^2/2}$$
である。2 個の粒子が ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ を 1 個ずつ占める状態は、対称化した波動関数
$$\Psi (x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\{{\phi }_0(x_1){\phi }_1(x_2)+{\phi }_1(x_1){\phi }_0(x_2)\}$$
で表される。

この 2 粒子の間に接触相互作用 $H^{\prime }=g\delta (x_1-x_2)$（$g$ は正の定数）がはたらくとき、この状態のエネルギーの 1 次の摂動によるずれ $⟨\Psi |H^{\prime }|\Psi ⟩$ を、$g$, $m$, $\omega$, $\hslash$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2a^{3/2}}$（$a>0$）を用いてよい。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子を考える。$S_z$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する規格化された固有状態をそれぞれ $|\uparrow ⟩$, $|\downarrow ⟩$ とし、スピン演算子は $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$（$\mathbf{\sigma }$ はパウリ行列で、$|\uparrow ⟩$, $|\downarrow ⟩$ を基底として
$${\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$$
と表される）で与えられるとする。粒子が状態
$$|\psi ⟩=\frac{\sqrt{3}}{2}|\uparrow ⟩+\frac{i}{2}|\downarrow ⟩$$
にあるとき、$S_y$ を測定して $+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を、根号を含む正確な値で求めよ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
のエネルギー固有値は $E_n^{(0)}=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$（$n=0,1,2,\dots$）、規格化された固有状態は $|n⟩$ である。生成・消滅演算子 $a^{†}$, $a$ を用いると
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†}),a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
が成り立つ。

この系に摂動 $H^{\prime }=\kappa x$（$\kappa$ は実定数）を加える。第 1 励起状態 $|1⟩$ のエネルギーの、$\kappa$ についての 2 次の摂動によるずれ $E_1^{(2)}$ を、非縮退摂動論を用いて $m$, $\omega$, $\kappa$ で表せ。ただし $m>0$, $\omega >0$ とする。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 5 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子どうしの相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は
$${\epsilon }_n=n^2\epsilon ,\epsilon =\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、各準位はスピンの向き（$S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$）の 2 通りの状態をもつ。

この 5 粒子系の第 1 励起状態（基底状態の次に低いエネルギーの状態）のエネルギーは $\epsilon$ の何倍か。

質量 $m$ の粒子が 1 次元のデルタ関数型の引力ポテンシャル
$$V(x)=-\alpha \delta (x)(\alpha >0)$$
の中にある。ハミルトニアンは $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ である。

基底状態のエネルギーを、正のパラメータ $b$ を含む規格化された試行関数
$${\psi }_b(x)={\left(\frac{2b}{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-b{x}^2}$$
を使った変分法で見積もる。$⟨H⟩=⟨{\psi }_b|H|{\psi }_b⟩$ を $b>0$ について最小にした値を、$m,\alpha ,\hslash$ を用いて表せ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $\mathbf{\sigma }=({\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z)$ は、${\sigma }_z$ の固有状態 $|\uparrow ⟩$（固有値 $+1$）, $|\downarrow ⟩$（固有値 $-1$）を基底として
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
と表されるパウリ行列である。

$xz$ 平面内で $z$ 軸から $x$ 軸の向きへ角 $\frac{\pi }{3}$ だけ傾いた単位ベクトル $\mathbf{n}=\left(\sin \frac{\pi }{3},0,\cos \frac{\pi }{3}\right)$ の向きのスピン成分 $\mathbf{n}\cdot \mathbf{S}$ について、固有値 $+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態に粒子を用意した。この状態で $S_x$ を測定したとき、$+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とする。ここで $S_z$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する規格化された固有状態を基底 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ にとり、パウリ行列は
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
とする（$i$ は虚数単位）。

粒子のスピン状態が
$$\chi =\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{c}2\\ i\end{array}\right)$$
であるとき、$S_y$ を測定して $+\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を求めよ。

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（量子数 $l=1$）とスピン角運動量 $\mathbf{S}$（量子数 $s=\frac{1}{2}$）を合成して、全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ を考える。$L_z$ の固有値 $m_l\hslash$ と $S_z$ の固有値 $m_s\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_l,m_s⟩$ と書く。

電子が状態
$$|\psi ⟩=|m_l=1,m_s=-\frac{1}{2}⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$j=\frac{3}{2}$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各角運動量の状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。

スピン $\frac{1}{2}$ の粒子のスピン演算子を $\mathbf{S}=\frac{\hslash }{2}\mathbf{\sigma }$ とし、$S_z$ の固有値 $\pm \frac{\hslash }{2}$ の規格化された固有状態を基底 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ にとる。この基底でパウリ行列は
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
である（$i$ は虚数単位）。

$x$ 軸方向の一様な磁場の中で、粒子のスピンのハミルトニアンが
$$H=\omega S_x$$
で与えられる（$\omega$ は正の定数）。時刻 $t=0$ にスピンが $S_z=+\frac{\hslash }{2}$ の固有状態にあったとき、時刻 $t(t\ge 0)$ に $S_z$ を測定して $-\frac{\hslash }{2}$ が得られる確率を、$\omega$ と $t$ を用いて表せ。

スピン $1$ の同種のボース粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。粒子どうしの相互作用はなく、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は ${\epsilon }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$（$n=1,2,\dots$、$m$ は粒子の質量）で、各 $n$ の空間的な状態はただ 1 つである。

この 3 粒子系の基底状態の縮退度（基底状態のエネルギーをもつ、線形独立な 3 粒子状態の数）を求めよ。

水素原子の電子を考える。原子核は静止しているとみなし、電子のスピンと相対論的効果は無視する。ボーア半径を $a$ とする。非摂動ハミルトニアン $H_0$ の $n=2$ の動径波動関数は、規格化された形で
$$R_{20}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}{a}^{-3/2}\left(1-\frac{r}{2a}\right)e^{-r/(2a)},R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
で与えられる。固有関数は ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$（$Y_{lm}$ は規格化された球面調和関数）である。

この原子に、球対称な摂動
$$V^{\prime }(r)=\frac{\beta }{r^2}(\beta >0\text{は定数})$$
が加わったとする。$\beta$ は十分小さく、$\beta$ の 1 次までの摂動論を用いてよい。このとき、$H_0$ のもとで縮退していた $n=2$ の準位（$2s$ と $2p$ の計 4 状態）は分裂する。$2s$ 準位のエネルギーから $2p$ 準位のエネルギーを引いた差 $E_{2s}-E_{2p}$ を、$\beta$ の 1 次までの精度で $\beta$ と $a$ を用いて表せ。

量子数 $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、量子数 $j_2=\frac{1}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1$ と ${\mathbf{J}}_2$ の成分どうしは互いに交換する。$J_{1z}$ の固有値 $m_1\hslash$ と $J_{2z}$ の固有値 $m_2\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書き、${\mathbf{J}}^2$ の固有値 $J(J+1){\hslash }^2$、$J_z$ の固有値 $M\hslash$ をもつ規格化された合成状態を $|J,M⟩$ と書く。昇降演算子 $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y$ は、角運動量の量子数 $j$ の固有状態に対して
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
とはたらき、$J_{\pm }=J_{1\pm }+J_{2\pm }$ である。位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

合成状態 $|J=1,M=1⟩$ における $J_{1z}$ の期待値を $⟨J_{1z}⟩=c\hslash$ と表すとき、定数 $c$ を分数で求めよ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の放物線型のポテンシャル障壁
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}{V}_0\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)& (|x|<a)\\ 0& (|x|\ge a)\end{array}$$
に、左側からエネルギー $E$（$0<E<V_0$）で入射する。ここで $V_0>0$, $a>0$ は定数である。

WKB 近似によれば、透過率 $T$ は古典的転回点 $x_1<x_2$（$V(x)=E$ となる点）を用いて
$$T\approx \exp \left(-2{\int }_{x_1}^{x_2}\kappa (x)dx\right),\kappa (x)=\frac{\sqrt{2m(V(x)-E)}}{\hslash }$$
と表される（前因子は $1$ とする）。この近似式に従って $T$ を $m,a,V_0,E,\hslash$ を用いて表せ。

角運動量の大きさが $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、$j_2=1$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1^2,J_{1z}$ の同時固有状態を $|j_1,m_1⟩$、${\mathbf{J}}_2^2,J_{2z}$ の同時固有状態を $|j_2,m_2⟩$ とし、積状態を $|m_1,m_2⟩\equiv |\frac{3}{2},m_1⟩|1,m_2⟩$ と書く。昇降演算子は
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
にしたがって作用するものとし、位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

この系が積状態
$$|\psi ⟩=|m_1=\frac{1}{2},m_2=1⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定する。測定値が $\frac{35}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{5}{2}$）、$\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{3}{2}$）、$\frac{3}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{1}{2}$）となる確率を、この順に組で求めよ。

質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらないとする。1 粒子のハミルトニアンの規格化された固有状態を ${\phi }_n(x)$（$n=0,1,2,\dots$、エネルギー $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）とし、位置演算子は昇降演算子 $a,a^{†}$（$a{\phi }_n=\sqrt{n}{\phi }_{n-1}$、$a^{†}{\phi }_n=\sqrt{n+1}{\phi }_{n+1}$）を用いて
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$
と表される。

いま、1 粒子状態 ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ に 1 個ずつ粒子が入り、2 粒子の全スピンが $0$（スピン一重項）である状態にある。この状態における 2 粒子間の距離の 2 乗の期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

2 準位系の正規直交基底を $|0⟩$, $|1⟩$ とし、この基底でのパウリ行列を
$${\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),{\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right),{\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$
とする（$|0⟩=(1,0{)}^T$, $|1⟩=(0,1{)}^T$）。系のハミルトニアンは時間によらず
$$H=\epsilon {\sigma }_z+\Delta {\sigma }_x$$
で与えられる。ここで $\epsilon$, $\Delta$ は正の実定数である。

時刻 $t=0$ に系が状態 $|0⟩$ にあったとき、時刻 $t(t\ge 0)$ に測定を行って系を状態 $|1⟩$ に見いだす確率を、$\epsilon$, $\Delta$, $t$, $\hslash$ を用いて表せ。ただし、時間発展はシュレーディンガー方程式 $i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$ に従うものとする。

角運動量の大きさ $j_1=1$ と $j_2=1$ の 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1^2,J_{1z}$ の同時固有状態を $|1,m_1⟩$、${\mathbf{J}}_2^2,J_{2z}$ の同時固有状態を $|1,m_2⟩$ と書き、積状態を $|m_1,m_2⟩=|1,m_1⟩|1,m_2⟩$ と略記する。位相はコンドン・ショートレーの規約に従い、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たす。

系が積状態 $|m_1,m_2⟩=|1,-1⟩$（$m_1=1$, $m_2=-1$）にあるとき、合成角運動量の大きさ ${\mathbf{J}}^2$ を測定して、固有値 $J(J+1){\hslash }^2$ の $J=2,1,0$ が得られる確率を、この順に組で求めよ。

水素原子の電子の $n=2,l=1$ の状態（2p 状態）の動径波動関数は、ボーア半径を $a$ として
$$R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
である。波動関数は ${\psi }_{21m}(r,\theta ,\varphi )=R_{21}(r)Y_{1m}(\theta ,\varphi )$（$Y_{1m}$ は規格化された球面調和関数）で、原子核は静止した点とみなす。

電子が 2p 状態（$m$ は $-1,0,1$ のどれでもよい）にあるとき、原子核からの距離が $r$ と $r+dr$ の間に見いだされる確率を $P(r)dr$ とする。$P(r)$ が最大となる距離を $r_{\mathrm{p}}$ とするとき、電子が原子核から距離 $r_{\mathrm{p}}$ 未満の範囲に見いだされる確率を求めよ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、1 粒子の規格化された固有関数は
$${\varphi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(n=1,2,3,\dots )$$
である。

2 粒子のスピン状態が $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2$（どちらも $S_z=+\frac{\hslash }{2}$）で、空間部分では一方が ${\varphi }_1$、もう一方が ${\varphi }_2$ の状態を占めている。このとき、2 粒子の位置を $x_1,x_2$ として、期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ は $L^2$ の何倍か。必要なら
$${\int }_0^L{x}^2{\varphi }_n(x{)}^{2}dx=L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2{\pi }^2}\right)$$
を用いてよい。

水素原子の電子（質量 $m$、電荷 $-e$）を考える。原子核（陽子）は静止しているとみなし、電子が受けるポテンシャルを $$V(r)=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$ とする（$r$ は原子核からの距離、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。ボーア半径を $a=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$ とすると、基底状態のエネルギーは $$E_1=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}a}$$ であり、規格化された基底状態の波動関数は $${\psi }_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a}$$ である。スピンは考えない。

電子が基底状態にあるとき、古典的には電子が入れない領域、すなわち $V(r)>E_1$ となる領域に電子を見いだす確率を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

水素原子の電子の状態を考える。原子核は静止しているとみなし、スピンは考えない。ボーア半径を $a$ とし、極座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いると、規格化されたエネルギー固有関数のうち 2 つは
$${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a},{\psi }_{211}=\frac{1}{8\sqrt{\pi a^3}}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}\sin \theta e^{i\varphi }$$
である。

電子が時刻 $t=0$ に状態
$$\Psi =\frac{1}{\sqrt{3}}{\psi }_{100}+\sqrt{\frac{2}{3}}{\psi }_{211}$$
にあるとき、時刻 $t(t\ge 0)$ における原子核と電子の距離 $r$ の期待値 $⟨r⟩$ を $a$ を用いて表せ。

角運動量の量子数がともに $1$ である 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ を考える。$J_{1z}$, $J_{2z}$ の固有値がそれぞれ $m_1\hslash$, $m_2\hslash$ である規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書く（$m_1,m_2\in \{1,0,-1\}$）。

系が状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1,-1⟩+|0,0⟩)$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $6{\hslash }^2$（合成角運動量の量子数 $J=2$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。

スピン $\frac{1}{2}$ の区別できる粒子 1, 2, 3 が三角形の頂点に固定されている。粒子 $i$（$i=1,2,3$）のパウリ行列を ${\mathbf{\sigma }}_i=({\sigma }_{ix},{\sigma }_{iy},{\sigma }_{iz})$、スピン演算子を ${\mathbf{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\mathbf{\sigma }}_i$ とする。系のハミルトニアンは
$$H=J\left({\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+{\mathbf{\sigma }}_2\cdot {\mathbf{\sigma }}_3+{\mathbf{\sigma }}_3\cdot {\mathbf{\sigma }}_1\right)(J>0)$$
で与えられ（$J$ はエネルギーの次元をもつ定数）、スピン以外の自由度は考えない。$S_{iz}$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する固有状態を $|\uparrow {⟩}_i$, $|\downarrow {⟩}_i$ と書く。

時刻 $t=0$ で系が状態 $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2|\downarrow {⟩}_3$ にあった。その後、系の状態 $|\psi (t)⟩$ はシュレーディンガー方程式
$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$$
に従って時間発展する（$\hslash$ は換算プランク定数で、$\hslash =1$ とはしない）。時刻 $t(\geqq 0)$ における粒子 3 のスピンの $z$ 成分の期待値 $⟨S_{3z}⟩(t)$ を、$\hslash$, $J$, $t$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャルの中にある。粒子の座標を $x_1,x_2$ とし、系のハミルトニアンを
$$H=\sum _{j=1}^2\left(\frac{p_j^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_j^2\right)+g\delta (x_1-x_2)(g>0)$$
とする。ハミルトニアンはスピンによらない。接触相互作用 $g\delta (x_1-x_2)$ を摂動とみなす。非摂動の 1 粒子の規格化された固有関数のうち、基底状態と第 1 励起状態は、$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$ として
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\sqrt{2}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$$
である。2 粒子系の非摂動エネルギーが $2\hslash \omega$ の準位（零点エネルギーを含む。1 粒子が ${\phi }_0$、もう 1 粒子が ${\phi }_1$ を占める準位）は、摂動の 1 次で 2 つのエネルギー準位に分かれる。高いほうの準位のエネルギーから低いほうの準位のエネルギーを引いた差を、摂動の 1 次までで $g,m,\omega ,\hslash$ を用いて求めよ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$ を用いてよい。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a$ の円周上に束縛されて運動している。円周上の位置を角度 $\varphi$（$0\le \varphi <2\pi$）で表す。非摂動ハミルトニアンは
$$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}\frac{d^2}{d{\varphi }^2}$$
であり、周期境界条件 $\psi (\varphi +2\pi )=\psi (\varphi )$ のもとで、規格化された固有関数と固有値は
$${\psi }_n(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{in\varphi },E_n^{(0)}=\frac{n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$
である。この粒子に摂動
$$V(\varphi )=V_0\cos (2\varphi )$$
を加える。ここで $V_0$ は実数の定数で、$|V_0|\ll \frac{{\hslash }^2}{m{a}^2}$ とする。

摂動がないとき $n=\pm 2$ の 2 つの状態は縮退している（エネルギー $\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}$）。摂動を加えたとき、この縮退した準位から生じる 2 つの準位のエネルギーを、$V_0$ の 2 次までの摂動論で求めよ。答えは、エネルギーの大きい方、小さい方の順に組で、$m$, $a$, $\hslash$, $V_0$ を用いて表せ。

空間的に固定された 2 つの電子（スピン $\frac{1}{2}$）を考え、軌道の自由度は無視する。電子 $1$, $2$ のパウリ行列をそれぞれ ${\mathbf{\sigma }}^{(1)}$, ${\mathbf{\sigma }}^{(2)}$ とし、ハミルトニアンを
$$H=J{\mathbf{\sigma }}^{(1)}\cdot {\mathbf{\sigma }}^{(2)}+b\left({\sigma }_z^{(1)}-{\sigma }_z^{(2)}\right)$$
とする。ここで $J>0$, $b>0$ はエネルギーの次元をもつ実定数である（$J$ は交換相互作用、$b$ は 2 つの電子の位置での磁場の違いによる項を表す）。${\sigma }_z$ の固有値 $+1$, $-1$ に属する 1 粒子の規格化された固有状態を $|\uparrow ⟩$, $|\downarrow ⟩$ とし、2 粒子の状態を $|\uparrow \downarrow ⟩=|\uparrow {⟩}_1|\downarrow {⟩}_2$ などと書く。

時刻 $t=0$ に系は状態 $|\uparrow \downarrow ⟩$ にあった。その後この系はハミルトニアン $H$ のもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。時刻 $t(>0)$ に 2 つの電子の ${\sigma }_z$ を同時に測定したとき、状態 $|\downarrow \uparrow ⟩$ が得られる確率を、$J$, $b$, $t$, $\hslash$ を用いて表せ。

2 つのスピン $\frac{1}{2}$ の粒子 1, 2 からなる系を考える。粒子 $j$（$j=1,2$）のパウリ行列を ${\mathbf{\sigma }}_j=({\sigma }_{jx},{\sigma }_{jy},{\sigma }_{jz})$ とし、異なる粒子のパウリ行列どうしは交換する。系のハミルトニアンが
$$H=J{\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+B\left({\sigma }_{1z}-{\sigma }_{2z}\right)$$
で与えられる。ここで $J>0$, $B>0$ はエネルギーの次元をもつ定数で、第 2 項は 2 つの粒子の位置で $z$ 方向の磁場が逆向きにかかっていることを表す。

$H$ の相異なる固有値をすべて求め、$J,B$ を用いて表せ。

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（大きさ $l=2$）とスピン $\mathbf{S}$（$s=\frac{1}{2}$）を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ とする。${\mathbf{L}}^2,L_z,{\mathbf{S}}^2,S_z$ の同時固有状態を $|m_l,m_s⟩$（$m_l=-2,\dots ,2$, $m_s=\pm \frac{1}{2}$）、${\mathbf{L}}^2,{\mathbf{S}}^2,{\mathbf{J}}^2,J_z$ の同時固有状態を $|j,m_j⟩$ と書く。位相はコンドン・ショートレーの規約に従い、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たす（$L_{\pm }$, $S_{\pm }$ も同様）。

電子が状態 $|j,m_j⟩=|\frac{3}{2},\frac{1}{2}⟩$ にあるとき、軌道角運動量の $z$ 成分の期待値 $⟨L_z⟩$ は $\hslash$ の何倍か。

質量 $m$ の粒子が、2 次元の無限に深い正方形の井戸型ポテンシャル
$$V_0(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L,0<y<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。この系に摂動
$$H^{\prime }=\kappa xy(0<x<L,0<y<L)$$
を加える。ここで $\kappa$ は正の定数で、$H^{\prime }$ は摂動として十分小さいとする。

摂動を加える前の第 1 励起準位（エネルギーが 2 番目に低い準位）は縮退している。摂動を加えたとき、この準位から分かれる 2 つの準位のうち、エネルギーが低いほうのエネルギーを、$H^{\prime }$ について 1 次の摂動論までの精度で求めよ。$\hslash$ はディラック定数とし、答えは $m$, $L$, $\kappa$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ でスピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。粒子どうしには、スピンによらない接触相互作用
$$H^{\prime }=g\sum _{i<j}\delta (x_i-x_j)$$
がはたらく。ここで $g$ は正の定数で、$H^{\prime }$ は摂動として十分小さいとする。$H^{\prime }$ 以外の相互作用はなく、1 粒子の固有関数は ${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,\dots$）、そのエネルギーは ${\epsilon }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ である。

この 3 粒子系の基底状態のエネルギーを、$g$ について 1 次の摂動論までの精度で求めよ。$\hslash$ はディラック定数とし、答えは $m$, $L$, $g$, $\hslash$ を用いて表せ。