量子力学（角運動量・近似法）の問題

水素原子の $2p$ 状態（$n=2$, $l=1$）の動径波動関数は、ボーア半径を $a_0$ として
$$R_{21}(r)=\frac{1}{2\sqrt{6}{a}_0^{3/2}}\cdot \frac{r}{a_0}{e}^{-r/(2a_0)}(r\ge 0)$$
である。電子を原子核から距離 $r$ と $r+dr$ の間に見いだす確率は動径分布 $P(r)dr=r^2|R_{21}(r){|}^{2}dr$ で与えられる。

$P(r)$ が最大となる $r$ を $a_0$ を用いて表せ。

水素原子の電子の状態を考える。原子核は静止しているとみなし、スピンは考えない。ボーア半径を $a$ とし、極座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いると、規格化されたエネルギー固有関数のうち 2 つは
$${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a},{\psi }_{211}=\frac{1}{8\sqrt{\pi a^3}}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}\sin \theta e^{i\varphi }$$
である。

電子が時刻 $t=0$ に状態
$$\Psi =\frac{1}{\sqrt{3}}{\psi }_{100}+\sqrt{\frac{2}{3}}{\psi }_{211}$$
にあるとき、時刻 $t(t\ge 0)$ における原子核と電子の距離 $r$ の期待値 $⟨r⟩$ を $a$ を用いて表せ。

水素原子の電子（質量 $m$、電荷 $-e$）を考える。原子核（陽子）は静止しているとみなし、電子が受けるポテンシャルを $$V(r)=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$$ とする（$r$ は原子核からの距離、${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。ボーア半径を $a=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m{e}^2}$ とすると、基底状態のエネルギーは $$E_1=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}a}$$ であり、規格化された基底状態の波動関数は $${\psi }_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a}$$ である。スピンは考えない。

電子が基底状態にあるとき、古典的には電子が入れない領域、すなわち $V(r)>E_1$ となる領域に電子を見いだす確率を求めよ。答えは正確な値で答えよ。

水素原子の電子を考える。原子核は静止しているとみなし、電子のスピンと相対論的効果は無視する。ボーア半径を $a$ とする。非摂動ハミルトニアン $H_0$ の $n=2$ の動径波動関数は、規格化された形で
$$R_{20}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}{a}^{-3/2}\left(1-\frac{r}{2a}\right)e^{-r/(2a)},R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
で与えられる。固有関数は ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$（$Y_{lm}$ は規格化された球面調和関数）である。

この原子に、球対称な摂動
$$V^{\prime }(r)=\frac{\beta }{r^2}(\beta >0\text{は定数})$$
が加わったとする。$\beta$ は十分小さく、$\beta$ の 1 次までの摂動論を用いてよい。このとき、$H_0$ のもとで縮退していた $n=2$ の準位（$2s$ と $2p$ の計 4 状態）は分裂する。$2s$ 準位のエネルギーから $2p$ 準位のエネルギーを引いた差 $E_{2s}-E_{2p}$ を、$\beta$ の 1 次までの精度で $\beta$ と $a$ を用いて表せ。

角運動量の量子数がともに $1$ である 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ を考える。$J_{1z}$, $J_{2z}$ の固有値がそれぞれ $m_1\hslash$, $m_2\hslash$ である規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書く（$m_1,m_2\in \{1,0,-1\}$）。

系が状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1,-1⟩+|0,0⟩)$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $6{\hslash }^2$（合成角運動量の量子数 $J=2$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。