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量子力学（角運動量・近似法）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理量子力学（角運動量・近似法）

水素原子の電子を考える。原子核は静止しているとみなし、電子のスピンと相対論的効果は無視する。ボーア半径を $a$ とする。非摂動ハミルトニアン $H_{0}$ の $n = 2$ の動径波動関数は、規格化された形で
$R_{20} (r) = \frac{1}{2} a^{- 3/2} (1 - \frac{r}{2 a}) e^{- r / (2 a)}, R_{21} (r) = \frac{1}{24} a^{- 3/2} \frac{r}{a} e^{- r / (2 a)}$
で与えられる。固有関数は $ψ_{n l m} (r, θ, ϕ) = R_{n l} (r) Y_{l m} (θ, ϕ)$ （ $Y_{l m}$ は規格化された球面調和関数）である。

この原子に、球対称な摂動
$V^{'} (r) = \frac{β}{r ^{2}} (β > 0 は定数)$
が加わったとする。 $β$ は十分小さく、 $β$ の 1 次までの摂動論を用いてよい。このとき、 $H_{0}$ のもとで縮退していた $n = 2$ の準位（ $2 s$ と $2 p$ の計 4 状態）は分裂する。 $2 s$ 準位のエネルギーから $2 p$ 準位のエネルギーを引いた差 $E_{2 s} - E_{2 p}$ を、 $β$ の 1 次までの精度で $β$ と $a$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

縮退がある場合の摂動論（説明と入口の問題）
水素原子のエネルギー準位と波動関数（説明と入口の問題）
演算子と期待値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（138 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

4 重に縮退した $n = 2$ の準位に縮退のある摂動論を使います。 $V^{'}$ が球対称であることから、 $ψ_{2 l m}$ の基底で摂動の行列がどのような形になるかを考えましょう。

ヒント 2

1 次の補正は $β ⟨ 1/ r^{2} ⟩_{2 l} = β \int_{0}^{\infty} R_{2 l} (r)^{2} d r$ です。体積要素の $r^{2}$ と $1/ r^{2}$ が打ち消し合います。積分には $\int_{0}^{\infty} r^{k} e^{- r / a} d r = k! a^{k + 1}$ を使います。

ヒント 3

$2 s$ では $\int_{0}^{\infty} R_{20}^{2} d r = \frac{1}{2 a ^{3}} \int_{0}^{\infty} (1 - \frac{r}{a} + \frac{r ^{2}}{4 a ^{2}}) e^{- r / a} d r = \frac{1}{4 a ^{2}}$ となります。 $2 p$ についても同じように積分しましょう。

答えと解説

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\frac{β}{6 a ^{2}}

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解説を読む

1. 縮退がある場合の摂動の扱い

$n = 2$ の準位は $(l, m) = (0, 0), (1, - 1), (1, 0), (1, 1)$ の 4 重に縮退しているので、縮退のある摂動論を用いる。1 次の補正は、この 4 状態の部分空間で $V^{'}$ の行列を対角化した固有値で与えられる。

$V^{'}$ は球対称なので $L^{2}$ と $L_{z}$ の両方と可換である。したがって $l$ や $m$ が異なる状態の間の行列要素は $0$ であり、 $ψ_{2 l m}$ を基底とすると行列ははじめから対角になる。よって 1 次の補正は対角要素
$Δ E_{2 l} = ⟨ 2 l m ∣ V^{'} ∣2 l m ⟩ = β ⟨ \frac{1}{r ^{2}} ⟩_{2 l}$
である。角度部分は $\int ∣ Y_{l m} ∣^{2} d Ω = 1$ なので、
$⟨ \frac{1}{r ^{2}} ⟩_{2 l} = \int_{0}^{\infty} R_{2 l}^{2} \frac{1}{r ^{2}} r^{2} d r = \int_{0}^{\infty} R_{2 l} (r)^{2} d r$
となり、 $m$ によらない。以下では公式 $\int_{0}^{\infty} r^{k} e^{- r / a} d r = k! a^{k + 1}$ を使う。

2. $2 s$ 状態

$R_{20}^{2} = \frac{1}{2 a ^{3}} (1 - \frac{r}{a} + \frac{r ^{2}}{4 a ^{2}}) e^{- r / a}$
であるから、
$⟨ \frac{1}{r ^{2}} ⟩_{2 s} = \frac{1}{2 a ^{3}} (a - \frac{1}{a} \cdot a^{2} + \frac{1}{4 a ^{2}} \cdot 2 a^{3}) = \frac{1}{2 a ^{3}} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{4 a ^{2}} .$

3. $2 p$ 状態

$R_{21}^{2} = \frac{1}{24 a ^{3}} \cdot \frac{r ^{2}}{a ^{2}} e^{- r / a}$
であるから、
$⟨ \frac{1}{r ^{2}} ⟩_{2 p} = \frac{1}{24 a ^{5}} \cdot 2 a^{3} = \frac{1}{12 a ^{2}} .$

（いずれも一般式 $⟨ r^{- 2} ⟩ = \frac{1}{n ^{3} ( l + \frac{1}{2} ) a ^{2}}$ と一致する。）

4. 分裂幅

$H_{0}$ の固有値は $2 s$ と $2 p$ で等しいので、差は 1 次補正の差だけで決まる。
$E_{2 s} - E_{2 p} = β (\frac{1}{4 a ^{2}} - \frac{1}{12 a ^{2}}) = \frac{β}{6 a ^{2}} .$

$β > 0$ なので $2 s$ のほうが高くなる。 $2 s$ の電子は原点付近に存在する確率が大きく、斥力的な $1/ r^{2}$ 項の影響を強く受けるためである。

別解

摂動 $V^{'} = β / r^{2}$ は球対称なので、角運動量 $l, m$ を変えない。したがって $n = 2$ の 4 状態の間で行列要素は対角的になり、1 次のエネルギー移動は $Δ E = β ⟨ r^{- 2} ⟩$ で与えられる。

動径積分は $x = r / a$ とおくと次のようになる。

$2 s$ ：
$⟨ r^{- 2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} R_{20}^{2} d r = \frac{1}{2 a ^{2}} \int_{0}^{\infty} (1 - x + \frac{x ^{2}}{4}) e^{- x} d x = \frac{1}{2 a ^{2}} (1 - 1 + \frac{1}{2}) = \frac{1}{4 a ^{2}}$

$2 p$ ：
$⟨ r^{- 2} ⟩ = \int_{0}^{\infty} R_{21}^{2} d r = \frac{1}{24 a ^{2}} \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x} d x = \frac{2}{24 a ^{2}} = \frac{1}{12 a ^{2}}$

検算：公式 $⟨ r^{- 2} ⟩ = \frac{1}{n ^{3} ( l + 1/2 ) a ^{2}}$ に $n = 2$ を代入すると、 $l = 0$ で $1/ (4 a^{2})$ 、 $l = 1$ で $1/ (12 a^{2})$ となり、上の結果と一致する。

よって
$E_{2 s} - E_{2 p} = β (\frac{1}{4 a ^{2}} - \frac{1}{12 a ^{2}}) = \frac{β}{6 a ^{2}}$

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