量子力学（角運動量・近似法）の問題

水素原子の電子の状態を考える。原子核は静止しているとみなし、スピンは考えない。ボーア半径を $a$ とし、極座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いると、規格化されたエネルギー固有関数のうち 2 つは
$${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a},{\psi }_{211}=\frac{1}{8\sqrt{\pi a^3}}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}\sin \theta e^{i\varphi }$$
である。

電子が時刻 $t=0$ に状態
$$\Psi =\frac{1}{\sqrt{3}}{\psi }_{100}+\sqrt{\frac{2}{3}}{\psi }_{211}$$
にあるとき、時刻 $t(t\ge 0)$ における原子核と電子の距離 $r$ の期待値 $⟨r⟩$ を $a$ を用いて表せ。

水素原子の電子の $n=2,l=1$ の状態（2p 状態）の動径波動関数は、ボーア半径を $a$ として
$$R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
である。波動関数は ${\psi }_{21m}(r,\theta ,\varphi )=R_{21}(r)Y_{1m}(\theta ,\varphi )$（$Y_{1m}$ は規格化された球面調和関数）で、原子核は静止した点とみなす。

電子が 2p 状態（$m$ は $-1,0,1$ のどれでもよい）にあるとき、原子核からの距離が $r$ と $r+dr$ の間に見いだされる確率を $P(r)dr$ とする。$P(r)$ が最大となる距離を $r_{\mathrm{p}}$ とするとき、電子が原子核から距離 $r_{\mathrm{p}}$ 未満の範囲に見いだされる確率を求めよ。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a$ の円周上に束縛されて運動している。円周上の位置を角度 $\varphi$（$0\le \varphi <2\pi$）で表す。非摂動ハミルトニアンは
$$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}\frac{d^2}{d{\varphi }^2}$$
であり、周期境界条件 $\psi (\varphi +2\pi )=\psi (\varphi )$ のもとで、規格化された固有関数と固有値は
$${\psi }_n(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{in\varphi },E_n^{(0)}=\frac{n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$
である。この粒子に摂動
$$V(\varphi )=V_0\cos (2\varphi )$$
を加える。ここで $V_0$ は実数の定数で、$|V_0|\ll \frac{{\hslash }^2}{m{a}^2}$ とする。

摂動がないとき $n=\pm 2$ の 2 つの状態は縮退している（エネルギー $\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}$）。摂動を加えたとき、この縮退した準位から生じる 2 つの準位のエネルギーを、$V_0$ の 2 次までの摂動論で求めよ。答えは、エネルギーの大きい方、小さい方の順に組で、$m$, $a$, $\hslash$, $V_0$ を用いて表せ。

水素原子の電子を考える。原子核は静止しているとみなし、電子のスピンと相対論的効果は無視する。ボーア半径を $a$ とする。非摂動ハミルトニアン $H_0$ の $n=2$ の動径波動関数は、規格化された形で
$$R_{20}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}{a}^{-3/2}\left(1-\frac{r}{2a}\right)e^{-r/(2a)},R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
で与えられる。固有関数は ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$（$Y_{lm}$ は規格化された球面調和関数）である。

この原子に、球対称な摂動
$$V^{\prime }(r)=\frac{\beta }{r^2}(\beta >0\text{は定数})$$
が加わったとする。$\beta$ は十分小さく、$\beta$ の 1 次までの摂動論を用いてよい。このとき、$H_0$ のもとで縮退していた $n=2$ の準位（$2s$ と $2p$ の計 4 状態）は分裂する。$2s$ 準位のエネルギーから $2p$ 準位のエネルギーを引いた差 $E_{2s}-E_{2p}$ を、$\beta$ の 1 次までの精度で $\beta$ と $a$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャルの中にある。粒子の座標を $x_1,x_2$ とし、系のハミルトニアンを
$$H=\sum _{j=1}^2\left(\frac{p_j^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_j^2\right)+g\delta (x_1-x_2)(g>0)$$
とする。ハミルトニアンはスピンによらない。接触相互作用 $g\delta (x_1-x_2)$ を摂動とみなす。非摂動の 1 粒子の規格化された固有関数のうち、基底状態と第 1 励起状態は、$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$ として
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\sqrt{2}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$$
である。2 粒子系の非摂動エネルギーが $2\hslash \omega$ の準位（零点エネルギーを含む。1 粒子が ${\phi }_0$、もう 1 粒子が ${\phi }_1$ を占める準位）は、摂動の 1 次で 2 つのエネルギー準位に分かれる。高いほうの準位のエネルギーから低いほうの準位のエネルギーを引いた差を、摂動の 1 次までで $g,m,\omega ,\hslash$ を用いて求めよ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$ を用いてよい。