量子力学（角運動量・近似法）の問題

以下 $\epsilon =\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}$ とおくと $E_n^{(0)}=n^2\epsilon$ である。

1. 1 次の摂動と縮退の扱い

$V_0\cos 2\varphi =\frac{V_0}{2}\left(e^{2i\varphi }+e^{-2i\varphi }\right)$ なので、行列要素は
$$⟨n^{\prime }|V|n⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }{e}^{-i{n}^{\prime }\varphi }\frac{V_0}{2}(e^{2i\varphi }+e^{-2i\varphi })e^{in\varphi }d\varphi =\frac{V_0}{2}\left({\delta }_{n^{\prime },n+2}+{\delta }_{n^{\prime },n-2}\right)$$
となり、$n$ がちょうど $\pm 2$ だけ違う状態の間にしか値をもたない。縮退した部分空間 $\{{\psi }_2,{\psi }_{-2}\}$ では、対角成分（$n^{\prime }=n$）も非対角成分（$n$ の差が $4$）も $0$ である。たとえば
$$⟨{\psi }_{-2}|V|{\psi }_2⟩=\frac{V_0}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\left(e^{6i\varphi }+e^{2i\varphi }\right)d\varphi =0$$
である。したがって $2\times 2$ の摂動行列はすべての成分が $0$ で、1 次のずれは $0$、縮退は 1 次では解けない。

そこで対称性を使う。$H_0$ も $V$ も反転 $\varphi \to -\varphi$ に対して不変なので、全ハミルトニアンは反転の演算子と交換する。よって偶関数の状態と奇関数の状態は摂動によって混ざらない。$n=\pm 2$ の部分空間を偶・奇の状態
$$u_2(\varphi )=\frac{\cos 2\varphi }{\sqrt{\pi }},v_2(\varphi )=\frac{\sin 2\varphi }{\sqrt{\pi }}$$
で張り直すと、偶の部分空間と奇の部分空間のそれぞれでエネルギー $4\epsilon$ の状態は 1 つだけになる。したがって、各部分空間の中では縮退のない摂動論の公式をそのまま使える（これらが「正しい 0 次の状態」である）。偶の部分空間の規格化された基底は $u_0=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$, $u_k=\frac{\cos k\varphi }{\sqrt{\pi }}$（$k\ge 1$）、奇の部分空間の基底は $v_k=\frac{\sin k\varphi }{\sqrt{\pi }}$ である。

1 次のずれはどちらも
$$⟨u_2|V|u_2⟩=\frac{V_0}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{3}2\varphi d\varphi =0,⟨v_2|V|v_2⟩=\frac{V_0}{\pi }{\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}2\varphi \cos 2\varphi d\varphi =0$$
である。

2. 奇の状態 $v_2$ の 2 次のずれ

$\sin 2\varphi \cos 2\varphi =\frac{1}{2}\sin 4\varphi$ より、$V{v}_2=\frac{V_0}{2}{v}_4$ となる。0 でない行列要素は $⟨v_4|V|v_2⟩=\frac{V_0}{2}$ だけなので
$$E_{\text{奇}}^{(2)}=\frac{|⟨v_4|V|v_2⟩{|}^2}{E_2^{(0)}-E_4^{(0)}}=\frac{V_0^2/4}{4\epsilon -16\epsilon }=-\frac{V_0^2}{48\epsilon }.$$

3. 偶の状態 $u_2$ の 2 次のずれ

${\cos }^{2}2\varphi =\frac{1}{2}(1+\cos 4\varphi )$ より
$$V{u}_2=\frac{V_0}{2\sqrt{\pi }}(1+\cos 4\varphi )=\frac{V_0}{\sqrt{2}}{u}_0+\frac{V_0}{2}{u}_4$$
となる（$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ を使った）。よって $⟨u_0|V|u_2⟩=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$, $⟨u_4|V|u_2⟩=\frac{V_0}{2}$ で、
$$E_{\text{偶}}^{(2)}=\frac{V_0^2/2}{4\epsilon -0}+\frac{V_0^2/4}{4\epsilon -16\epsilon }=\frac{V_0^2}{8\epsilon }-\frac{V_0^2}{48\epsilon }=\frac{5V_0^2}{48\epsilon }.$$

4. まとめ

$\frac{1}{48\epsilon }=\frac{2m{a}^2}{48{\hslash }^2}=\frac{m{a}^2}{24{\hslash }^2}$、$4\epsilon =\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}$ を用いて
$$E_{\text{偶}}=\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}+\frac{5m{a}^2{V}_0^2}{24{\hslash }^2},E_{\text{奇}}=\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}-\frac{m{a}^2{V}_0^2}{24{\hslash }^2}.$$
$V_0$ の 1 次の項はなく、縮退は 2 次で解け、分裂の幅は $\frac{m{a}^2{V}_0^2}{4{\hslash }^2}$ である。大きい方は偶の状態 $\cos 2\varphi$ に、小さい方は奇の状態 $\sin 2\varphi$ に対応する（$V_0$ の符号によらない）。

（補足 1：元の基底 $\{{\psi }_2,{\psi }_{-2}\}$ で 2 次の有効ハミルトニアン $(H_{\text{eff}}{)}_{ab}=\sum _{k\ne \pm 2}\frac{V_{ak}{V}_{kb}}{4\epsilon -E_k^{(0)}}$ を作ると、対角成分は $n=0,\pm 4$ を経由して $\frac{V_0^2}{16\epsilon }-\frac{V_0^2}{48\epsilon }=\frac{V_0^2}{24\epsilon }$、非対角成分は $n=0$ を経由する $\frac{V_0^2}{16\epsilon }$ となる。その固有値 $\frac{V_0^2}{24\epsilon }\pm \frac{V_0^2}{16\epsilon }$ は上の結果と一致する。）

（補足 2：シュレーディンガー方程式は ${\psi }^{\prime \prime }+\left(\frac{E}{\epsilon }-\frac{V_0}{\epsilon }\cos 2\varphi \right)\psi =0$ というマシュー方程式 $y^{\prime \prime }+(a-2q\cos 2x)y=0$（$a=E/\epsilon$, $q=V_0/(2\epsilon )$）であり、その特性値の展開 $a_2=4+\frac{5q^2}{12}+\cdots$, $b_2=4-\frac{q^2}{12}+\cdots$ からも同じ結果が得られる。）

$\epsilon ={\hslash }^2/(2m{a}^2)$ とおくと、$E_n^{(0)}=n^2\epsilon$ であり、縮退した準位は $E_{\pm 2}^{(0)}=4\epsilon$ である。
摂動は $V=\frac{V_0}{2}(e^{2i\varphi }+e^{-2i\varphi })$ なので、行列要素は $⟨m|V|n⟩=\frac{V_0}{2}{\delta }_{m,n\pm 2}$ となる。

1 次では、縮退空間 $\{|2⟩,|-2⟩\}$ 内の行列要素は $⟨\pm 2|V|\pm 2⟩=0$ であり、$⟨2|V|-2⟩$ も差が 4 なので 0 になる。したがって 1 次では縮退は解けない。

2 次の有効ハミルトニアンは $H_{ab}^{\mathrm{eff}}={\sum }_{k\notin D}\frac{⟨a|V|k⟩⟨k|V|b⟩}{4\epsilon -E_k}$ で与えられる。

• 対角成分（$a=b=2$）：中間状態は $k=0$（$E=0$）と $k=4$（$E=16\epsilon$）である。$\frac{V_0^2}{4}\left(\frac{1}{4\epsilon }+\frac{1}{-12\epsilon }\right)=\frac{V_0^2}{24\epsilon }$。$a=b=-2$ でも同じ値になる。
• 非対角成分（$a=2$, $b=-2$）：中間状態は $k=0$ のみである。$\frac{V_0^2}{4}\cdot \frac{1}{4\epsilon }=\frac{V_0^2}{16\epsilon }$。

固有値は $E=4\epsilon +\frac{V_0^2}{24\epsilon }\pm \frac{V_0^2}{16\epsilon }$ である。
$1/\epsilon =2m{a}^2/{\hslash }^2$ を代入すると、$\frac{V_0^2}{24\epsilon }=\frac{m{a}^2{V}_0^2}{12{\hslash }^2}$、$\frac{V_0^2}{16\epsilon }=\frac{m{a}^2{V}_0^2}{8{\hslash }^2}$ となる。

よって
- 大きい方：$\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}+\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{8}\right)\frac{m{a}^2{V}_0^2}{{\hslash }^2}=\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}+\frac{5m{a}^2{V}_0^2}{24{\hslash }^2}$
- 小さい方：$\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}+\left(\frac{1}{12}-\frac{1}{8}\right)\frac{m{a}^2{V}_0^2}{{\hslash }^2}=\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}-\frac{m{a}^2{V}_0^2}{24{\hslash }^2}$

対応する固有状態は $\cos 2\varphi$ 型と $\sin 2\varphi$ 型である。
検算：$\cos 2\varphi$ 型状態の 2 次エネルギーを直接求める。この状態は $|2⟩+|-2⟩$ を $\sqrt{2}$ で割ったものである。$⟨0|V|\cos ⟩=\frac{V_0}{2}\sqrt{2}$ より、$k=0$ の寄与は $\frac{V_0^2}{2}\cdot \frac{1}{4\epsilon }=\frac{V_0^2}{8\epsilon }$。$k=\pm 4$ の寄与は $\frac{V_0^2}{4}\cdot \frac{1}{-12\epsilon }=-\frac{V_0^2}{48\epsilon }$。合計は $\frac{5V_0^2}{48\epsilon }=\frac{5m{a}^2{V}_0^2}{24{\hslash }^2}$ となり、上の結果と一致する。