量子力学（角運動量・近似法）の問題

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 5 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子どうしの相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は
$${\epsilon }_n=n^2\epsilon ,\epsilon =\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、各準位はスピンの向き（$S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$）の 2 通りの状態をもつ。

この 5 粒子系の第 1 励起状態（基底状態の次に低いエネルギーの状態）のエネルギーは $\epsilon$ の何倍か。

幅 $L$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中に、質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子が 5 個入っている。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は
$$E_n=n^2{E}_1\left(n=1,2,3,\dots ,E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\right)$$
であり、各準位にはスピンの向き $S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$ の 2 つの状態がある。

この 5 粒子系の基底状態のエネルギーは $E_1$ の何倍か。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャルの中にある。粒子の座標を $x_1,x_2$ とし、系のハミルトニアンを
$$H=\sum _{j=1}^2\left(\frac{p_j^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_j^2\right)+g\delta (x_1-x_2)(g>0)$$
とする。ハミルトニアンはスピンによらない。接触相互作用 $g\delta (x_1-x_2)$ を摂動とみなす。非摂動の 1 粒子の規格化された固有関数のうち、基底状態と第 1 励起状態は、$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$ として
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\sqrt{2}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$$
である。2 粒子系の非摂動エネルギーが $2\hslash \omega$ の準位（零点エネルギーを含む。1 粒子が ${\phi }_0$、もう 1 粒子が ${\phi }_1$ を占める準位）は、摂動の 1 次で 2 つのエネルギー準位に分かれる。高いほうの準位のエネルギーから低いほうの準位のエネルギーを引いた差を、摂動の 1 次までで $g,m,\omega ,\hslash$ を用いて求めよ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$ を用いてよい。

質量 $m$ の粒子が、半径 $a$ の円周上に束縛されて運動している。円周上の位置を角度 $\varphi$（$0\le \varphi <2\pi$）で表す。非摂動ハミルトニアンは
$$H_0=-\frac{{\hslash }^2}{2m{a}^2}\frac{d^2}{d{\varphi }^2}$$
であり、周期境界条件 $\psi (\varphi +2\pi )=\psi (\varphi )$ のもとで、規格化された固有関数と固有値は
$${\psi }_n(\varphi )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{in\varphi },E_n^{(0)}=\frac{n^2{\hslash }^2}{2m{a}^2}(n=0,\pm 1,\pm 2,\dots )$$
である。この粒子に摂動
$$V(\varphi )=V_0\cos (2\varphi )$$
を加える。ここで $V_0$ は実数の定数で、$|V_0|\ll \frac{{\hslash }^2}{m{a}^2}$ とする。

摂動がないとき $n=\pm 2$ の 2 つの状態は縮退している（エネルギー $\frac{2{\hslash }^2}{m{a}^2}$）。摂動を加えたとき、この縮退した準位から生じる 2 つの準位のエネルギーを、$V_0$ の 2 次までの摂動論で求めよ。答えは、エネルギーの大きい方、小さい方の順に組で、$m$, $a$, $\hslash$, $V_0$ を用いて表せ。

質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらないとする。1 粒子のハミルトニアンの規格化された固有状態を ${\phi }_n(x)$（$n=0,1,2,\dots$、エネルギー $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）とし、位置演算子は昇降演算子 $a,a^{†}$（$a{\phi }_n=\sqrt{n}{\phi }_{n-1}$、$a^{†}{\phi }_n=\sqrt{n+1}{\phi }_{n+1}$）を用いて
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$
と表される。

いま、1 粒子状態 ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ に 1 個ずつ粒子が入り、2 粒子の全スピンが $0$（スピン一重項）である状態にある。この状態における 2 粒子間の距離の 2 乗の期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。