量子力学（角運動量・近似法）の問題

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子
$$H_0=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
のエネルギー固有値は $E_n^{(0)}=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right)$（$n=0,1,2,\dots$）、規格化された固有状態は $|n⟩$ である。生成・消滅演算子 $a^{†}$, $a$ を用いると
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†}),a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
が成り立つ。

この系に摂動 $H^{\prime }=\kappa x$（$\kappa$ は実定数）を加える。第 1 励起状態 $|1⟩$ のエネルギーの、$\kappa$ についての 2 次の摂動によるずれ $E_1^{(2)}$ を、非縮退摂動論を用いて $m$, $\omega$, $\kappa$ で表せ。ただし $m>0$, $\omega >0$ とする。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 5 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子どうしの相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は
$${\epsilon }_n=n^2\epsilon ,\epsilon =\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、各準位はスピンの向き（$S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$）の 2 通りの状態をもつ。

この 5 粒子系の第 1 励起状態（基底状態の次に低いエネルギーの状態）のエネルギーは $\epsilon$ の何倍か。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャルの中にある。粒子の座標を $x_1,x_2$ とし、系のハミルトニアンを
$$H=\sum _{j=1}^2\left(\frac{p_j^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}_j^2\right)+g\delta (x_1-x_2)(g>0)$$
とする。ハミルトニアンはスピンによらない。接触相互作用 $g\delta (x_1-x_2)$ を摂動とみなす。非摂動の 1 粒子の規格化された固有関数のうち、基底状態と第 1 励起状態は、$\alpha =\sqrt{m\omega /\hslash }$ として
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\sqrt{\pi }}\right)}^{1/2}\sqrt{2}\alpha x{e}^{-{\alpha }^2{x}^2/2}$$
である。2 粒子系の非摂動エネルギーが $2\hslash \omega$ の準位（零点エネルギーを含む。1 粒子が ${\phi }_0$、もう 1 粒子が ${\phi }_1$ を占める準位）は、摂動の 1 次で 2 つのエネルギー準位に分かれる。高いほうの準位のエネルギーから低いほうの準位のエネルギーを引いた差を、摂動の 1 次までで $g,m,\omega ,\hslash$ を用いて求めよ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi }{a^3}}(a>0)$ を用いてよい。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子 $H_0$ のエネルギー固有状態を $|n⟩$（$n=0,1,2,\dots$）、固有値を $E_n^{(0)}=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ とする。位置演算子は消滅・生成演算子 $\hat{a}$, ${\hat{a}}^{†}$ を用いて
$$\hat{x}=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}\left(\hat{a}+{\hat{a}}^{†}\right),\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$$
と表される。

この振動子に一様な力 $F$（定数）を加え、摂動 $H^{\prime }=-F\hat{x}$ が加わったとする。基底状態 $|0⟩$ のエネルギーの 2 次の摂動によるずれ
$$E_0^{(2)}=\sum _{k\ne 0}\frac{|⟨k|H^{\prime }|0⟩{|}^2}{E_0^{(0)}-E_k^{(0)}}$$
を、$F$, $m$, $\omega$ を用いて表せ。

スピン $1$ の同種のボース粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。粒子どうしの相互作用はなく、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は ${\epsilon }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$（$n=1,2,\dots$、$m$ は粒子の質量）で、各 $n$ の空間的な状態はただ 1 つである。

この 3 粒子系の基底状態の縮退度（基底状態のエネルギーをもつ、線形独立な 3 粒子状態の数）を求めよ。