量子力学（角運動量・近似法）の問題

質量 $m$ でスピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。粒子どうしには、スピンによらない接触相互作用
$$H^{\prime }=g\sum _{i<j}\delta (x_i-x_j)$$
がはたらく。ここで $g$ は正の定数で、$H^{\prime }$ は摂動として十分小さいとする。$H^{\prime }$ 以外の相互作用はなく、1 粒子の固有関数は ${\phi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}$（$n=1,2,\dots$）、そのエネルギーは ${\epsilon }_n=\frac{n^2{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}$ である。

この 3 粒子系の基底状態のエネルギーを、$g$ について 1 次の摂動論までの精度で求めよ。$\hslash$ はディラック定数とし、答えは $m$, $L$, $g$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 5 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子どうしの相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は
$${\epsilon }_n=n^2\epsilon ,\epsilon =\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、各準位はスピンの向き（$S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$）の 2 通りの状態をもつ。

この 5 粒子系の第 1 励起状態（基底状態の次に低いエネルギーの状態）のエネルギーは $\epsilon$ の何倍か。

質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 2 個が、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらないとする。1 粒子のハミルトニアンの規格化された固有状態を ${\phi }_n(x)$（$n=0,1,2,\dots$、エネルギー $(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$）とし、位置演算子は昇降演算子 $a,a^{†}$（$a{\phi }_n=\sqrt{n}{\phi }_{n-1}$、$a^{†}{\phi }_n=\sqrt{n+1}{\phi }_{n+1}$）を用いて
$$x=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(a+a^{†})$$
と表される。

いま、1 粒子状態 ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ に 1 個ずつ粒子が入り、2 粒子の全スピンが $0$（スピン一重項）である状態にある。この状態における 2 粒子間の距離の 2 乗の期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、2 次元の無限に深い正方形の井戸型ポテンシャル
$$V_0(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L,0<y<L)\\ \infty & (\text{otherwise})\end{array}$$
の中にある。この系に摂動
$$H^{\prime }=\kappa xy(0<x<L,0<y<L)$$
を加える。ここで $\kappa$ は正の定数で、$H^{\prime }$ は摂動として十分小さいとする。

摂動を加える前の第 1 励起準位（エネルギーが 2 番目に低い準位）は縮退している。摂動を加えたとき、この準位から分かれる 2 つの準位のうち、エネルギーが低いほうのエネルギーを、$H^{\prime }$ について 1 次の摂動論までの精度で求めよ。$\hslash$ はディラック定数とし、答えは $m$, $L$, $\kappa$, $\hslash$ を用いて表せ。

幅 $L$ の 1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0\le x\le L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中に、質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子が 5 個入っている。粒子どうしの相互作用は無視する。1 粒子のエネルギー準位は
$$E_n=n^2{E}_1\left(n=1,2,3,\dots ,E_1=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\right)$$
であり、各準位にはスピンの向き $S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$ の 2 つの状態がある。

この 5 粒子系の基底状態のエネルギーは $E_1$ の何倍か。