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量子力学（角運動量・近似法）の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理量子力学（角運動量・近似法）

質量 $m$ でスピン $\frac{1}{2}$ の同種のフェルミ粒子 3 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$V (x) = {0 \infty (0 < x < L) (otherwise)$
の中にある。粒子どうしには、スピンによらない接触相互作用
$H^{'} = g i < j \sum δ (x_{i} - x_{j})$
がはたらく。ここで $g$ は正の定数で、 $H^{'}$ は摂動として十分小さいとする。 $H^{'}$ 以外の相互作用はなく、1 粒子の固有関数は $φ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ （ $n = 1, 2, \dots$ ）、そのエネルギーは $ε_{n} = \frac{n ^{2} π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}}$ である。

この 3 粒子系の基底状態のエネルギーを、 $g$ について 1 次の摂動論までの精度で求めよ。 $ℏ$ はディラック定数とし、答えは $m$ , $L$ , $g$ , $ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

同種粒子と交換対称性（説明と入口の問題）
交換項を含む期待値と相互作用のエネルギー（説明と入口の問題）
無限に深い井戸型ポテンシャル（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（127 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

パウリの排他原理から基底状態の配置（どの軌道に何個入るか）を決め、その状態での $H^{'}$ の期待値を計算する。

ヒント 2

スレーター行列式での 2 体相互作用の期待値は、各粒子の組の「直接項 − 交換項」の和。交換項はスピンが同じ組にだけ現れ、 $δ$ 関数の場合は直接項と等しくなる。

ヒント 3

必要な積分は $\int_{0}^{L} φ_{1}^{4} d x = \frac{3}{2 L}$ と $\int_{0}^{L} φ_{1}^{2} φ_{2}^{2} d x = \frac{1}{L}$ である。

答えと解説

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\frac{3 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}} + \frac{5 g}{2 L}

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解説を読む

非摂動の基底状態

パウリの排他原理（全体の波動関数が粒子の入れ替えで反対称）により、1 つの軌道 $φ_{n}$ にはスピン上向き・下向きの 2 個までしか入れない。よって基底状態の配置は $φ_{1}$ に $↑$ と $↓$ 、 $φ_{2}$ に 1 個（スピンは $↑$ か $↓$ ）であり、
$E^{(0)} = 2 ε_{1} + ε_{2} = (2 + 4) \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{3 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}}$
この配置の状態は、3 個目の粒子のスピンの向きで 2 つ（全スピン $S = \frac{1}{2}$ , $M_{S} = \pm \frac{1}{2}$ ）ある。 $H^{'}$ はスピンによらないので $M_{S}$ の異なる状態を混ぜず、縮退があっても各スレーター行列式 $Φ = det [φ_{1} ↑, φ_{1} ↓, φ_{2} ↑] / 3!$ の期待値がそのまま 1 次のずれになる（ $M_{S} = - \frac{1}{2}$ でも同じ値）。

1 次のエネルギーのずれ

スレーター行列式に対する 2 体演算子の期待値は、占有された 1 粒子状態の組 $(a, b)$ ごとの「直接項 − 交換項」の和である:
$Δ E = pairs (a, b) \sum (J_{ab} - K_{ab} δ_{σ_{a} σ_{b}})$
$J_{ab} = g \iint ∣ φ_{a} (x_{1}) ∣^{2} δ (x_{1} - x_{2}) ∣ φ_{b} (x_{2}) ∣^{2} d x_{1} d x_{2} = g \int_{0}^{L} φ_{a}^{2} φ_{b}^{2} d x$
交換項 $K_{ab} = g \iint φ_{a} (x_{1}) φ_{b} (x_{2}) δ (x_{1} - x_{2}) φ_{b} (x_{1}) φ_{a} (x_{2}) d x_{1} d x_{2}$ も、 $δ$ 関数のため $g \int φ_{a}^{2} φ_{b}^{2} d x$ となり、直接項と等しい。交換項はスピンが同じ組にだけ現れる。

必要な積分:
$\int_{0}^{L} φ_{1}^{4} d x = \frac{4}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{4} \frac{π x}{L} d x = \frac{4}{L ^{2}} \cdot \frac{3 L}{8} = \frac{3}{2 L}$
（ $sin^{4} θ = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} cos 2 θ + \frac{1}{8} cos 4 θ$ を使った。）
$\int_{0}^{L} φ_{1}^{2} φ_{2}^{2} d x = \frac{4}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{2} \frac{π x}{L} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x = \frac{4}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{4} = \frac{1}{L}$
（ $sin^{2} α sin^{2} 2 α = \frac{1}{4} (1 - cos 2 α) (1 - cos 4 α)$ で、 $cos$ の項は 1 周期分の積分で $0$ になる。）

3 つの組について:
- $(φ_{1} ↑, φ_{1} ↓)$ : スピンが逆なので直接項のみ。 $\frac{3 g}{2 L}$
- $(φ_{1} ↑, φ_{2} ↑)$ : スピンが同じなので $J - K = \frac{g}{L} - \frac{g}{L} = 0$ （空間部分が反対称なので、接触相互作用がはたらかない）
- $(φ_{1} ↓, φ_{2} ↑)$ : 直接項のみ。 $\frac{g}{L}$

よって
$Δ E = \frac{3 g}{2 L} + 0 + \frac{g}{L} = \frac{5 g}{2 L}$

答え
$E = \frac{3 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}} + \frac{5 g}{2 L}$

別解

非摂動基底状態: パウリの排他原理より $n = 1$ に 2 個（↑↓）、 $n = 2$ に 1 個。エネルギーは $2 ε_{1} + ε_{2} = (2 + 4) \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{2 m L ^{2}} = \frac{3 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}}$ 。この準位は $n = 2$ の粒子のスピンの向き（全スピン $S = \frac{1}{2}$ ）で縮退しているが、 $H^{'}$ は全スピンを保存し、スピンに依存しないので、全スピンの $z$ 成分が同じ状態どうしの間の行列要素は縮退した 1 つの状態に対する期待値だけで決まる。 $S_{z} = + \frac{1}{2}$ の状態 ${1 ↑, 1 ↓, 2 ↑}$ （スレーター行列式）を使う。

接触相互作用の期待値は、2 粒子ごとに「直接項 − 交換項（スピンが同じ対のみ）」で、直接項は $\int φ_{a}^{2} φ_{b}^{2} d x$ 。
- $\int φ_{1}^{4} d x = \frac{4}{L ^{2}} \cdot \frac{3 L}{8} = \frac{3}{2 L}$
- $\int φ_{1}^{2} φ_{2}^{2} d x = \frac{4}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{2} \frac{π x}{L} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x = \frac{4}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{4} = \frac{1}{L}$

対ごとの寄与:
- $(1 ↑, 1 ↓)$ : スピンが異なり交換項なし。 $\frac{3}{2 L}$
- $(1 ↑, 2 ↑)$ : スピンが同じ。直接 $\frac{1}{L}$ − 交換 $\frac{1}{L}$ $= 0$ （同じスピンは空間波動関数が反対称で、接触では出会わない）
- $(1 ↓, 2 ↑)$ : スピンが異なる。直接 $\frac{1}{L}$

合計: $⟨ H^{'} ⟩ = g (\frac{3}{2 L} + 0 + \frac{1}{L}) = \frac{5 g}{2 L}$ 。

したがって
$E = \frac{3 π ^{2} ℏ ^{2}}{m L ^{2}} + \frac{5 g}{2 L}$

検算: $n = 1$ に 2 個だけの場合は $\frac{3 g}{2 L}$ 、ここに $n = 2$ の粒子が加わり、↓の粒子とだけ $\frac{g}{L}$ の相互作用をする（↑との寄与は直接項と交換項が打ち消し合う）という構造で、 $\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ となる。

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