量子力学（角運動量・近似法）の問題

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 5 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子どうしの相互作用は無視でき、ハミルトニアンはスピンによらない。1 粒子のエネルギー準位は
$${\epsilon }_n=n^2\epsilon ,\epsilon =\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}(n=1,2,3,\dots )$$
で、各準位はスピンの向き（$S_z=\pm \frac{\hslash }{2}$）の 2 通りの状態をもつ。

この 5 粒子系の第 1 励起状態（基底状態の次に低いエネルギーの状態）のエネルギーは $\epsilon$ の何倍か。

質量 $m$ のスピン $\frac{1}{2}$ の同種フェルミ粒子 2 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $0$、それ以外で $+\infty$）の中にある。粒子間の相互作用は無視でき、1 粒子の規格化された固有関数は
$${\varphi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n\pi x}{L}(n=1,2,3,\dots )$$
である。

2 粒子のスピン状態が $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2$（どちらも $S_z=+\frac{\hslash }{2}$）で、空間部分では一方が ${\varphi }_1$、もう一方が ${\varphi }_2$ の状態を占めている。このとき、2 粒子の位置を $x_1,x_2$ として、期待値 $⟨(x_1-x_2{)}^2⟩$ は $L^2$ の何倍か。必要なら
$${\int }_0^L{x}^2{\varphi }_n(x{)}^{2}dx=L^2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n^2{\pi }^2}\right)$$
を用いてよい。

角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$ の中に、スピンをもたない質量 $m$ の同種ボース粒子が 2 個ある。$\alpha =\frac{m\omega }{\hslash }$ とおくと、1 粒子の基底状態と第 1 励起状態の規格化された実数の固有関数は
$${\phi }_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-\alpha x^2/2},{\phi }_1(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}\sqrt{2\alpha }x{e}^{-\alpha x^2/2}$$
である。2 個の粒子が ${\phi }_0$ と ${\phi }_1$ を 1 個ずつ占める状態は、対称化した波動関数
$$\Psi (x_1,x_2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\{{\phi }_0(x_1){\phi }_1(x_2)+{\phi }_1(x_1){\phi }_0(x_2)\}$$
で表される。

この 2 粒子の間に接触相互作用 $H^{\prime }=g\delta (x_1-x_2)$（$g$ は正の定数）がはたらくとき、この状態のエネルギーの 1 次の摂動によるずれ $⟨\Psi |H^{\prime }|\Psi ⟩$ を、$g$, $m$, $\omega$, $\hslash$ を用いて表せ。必要なら ${\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2a^{3/2}}$（$a>0$）を用いてよい。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の V 字型ポテンシャル
$$V(x)=F|x|(F>0\text{は定数})$$
の中を運動している。エネルギー準位を WKB 近似の量子化条件
$$\oint pdx=2{\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{2m\left(E-V(x)\right)}dx=\left(n+\frac{1}{2}\right)h(n=0,1,2,\dots )$$
で求める。ここで $x_1$, $x_2$（$x_1<x_2$）は $V(x)=E$ となる古典的な折り返し点、$h=2\pi \hslash$ はプランク定数である。

この量子化条件から得られる $n=0$ の準位を $E_0$、$n=1$ の準位を $E_1$ とするとき、比 $\frac{E_1}{E_0}$ を求めよ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元の調和振動子ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$（$\omega >0$）の中にあり、ハミルトニアンは
$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$$
である。正の実数のパラメータ $a$ を含む試行関数
$${\psi }_a(x)=e^{-a|x|}(-\infty <x<\infty )$$
を用いて、変分法で基底状態のエネルギーの上限を求める。ただし、運動エネルギーの期待値は
$$⟨T⟩=\frac{{\hslash }^2}{2m}\cdot \frac{{\int }_{-\infty }^{\infty }|{\psi }_a^{\prime }(x){|}^{2}dx}{{\int }_{-\infty }^{\infty }|{\psi }_a(x){|}^{2}dx}$$
で計算してよい（$x=0$ での ${\psi }_a^{\prime }$ の不連続は考えなくてよい）。また、${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-bx}dx=\frac{n!}{b^{n+1}}$（$b>0$, $n$ は 0 以上の整数）を用いてよい。

$⟨H⟩=\frac{⟨{\psi }_a|H|{\psi }_a⟩}{⟨{\psi }_a|{\psi }_a⟩}$ を $a>0$ の範囲で最小にしたときの最小値を、$\hslash$, $\omega$ を用いて表せ。