量子力学（角運動量・近似法）の問題

量子数 $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、量子数 $j_2=\frac{1}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1$ と ${\mathbf{J}}_2$ の成分どうしは互いに交換する。$J_{1z}$ の固有値 $m_1\hslash$ と $J_{2z}$ の固有値 $m_2\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書き、${\mathbf{J}}^2$ の固有値 $J(J+1){\hslash }^2$、$J_z$ の固有値 $M\hslash$ をもつ規格化された合成状態を $|J,M⟩$ と書く。昇降演算子 $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y$ は、角運動量の量子数 $j$ の固有状態に対して
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
とはたらき、$J_{\pm }=J_{1\pm }+J_{2\pm }$ である。位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

合成状態 $|J=1,M=1⟩$ における $J_{1z}$ の期待値を $⟨J_{1z}⟩=c\hslash$ と表すとき、定数 $c$ を分数で求めよ。

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（量子数 $l=1$）とスピン角運動量 $\mathbf{S}$（量子数 $s=\frac{1}{2}$）を合成して、全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ を考える。$L_z$ の固有値 $m_l\hslash$ と $S_z$ の固有値 $m_s\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_l,m_s⟩$ と書く。

電子が状態
$$|\psi ⟩=|m_l=1,m_s=-\frac{1}{2}⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$j=\frac{3}{2}$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各角運動量の状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。

角運動量の大きさ $j_1=1$ と $j_2=1$ の 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1^2,J_{1z}$ の同時固有状態を $|1,m_1⟩$、${\mathbf{J}}_2^2,J_{2z}$ の同時固有状態を $|1,m_2⟩$ と書き、積状態を $|m_1,m_2⟩=|1,m_1⟩|1,m_2⟩$ と略記する。位相はコンドン・ショートレーの規約に従い、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たす。

系が積状態 $|m_1,m_2⟩=|1,-1⟩$（$m_1=1$, $m_2=-1$）にあるとき、合成角運動量の大きさ ${\mathbf{J}}^2$ を測定して、固有値 $J(J+1){\hslash }^2$ の $J=2,1,0$ が得られる確率を、この順に組で求めよ。

軌道角運動量 $\mathbf{L}$（$l=1$）とスピン $\mathbf{S}$（$s=\frac{1}{2}$）を合成して $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ とする。$L_z$ の固有状態を $|l=1,m_l⟩$、$S_z$ の固有状態を $|\uparrow ⟩$（$m_s=\frac{1}{2}$）, $|\downarrow ⟩$（$m_s=-\frac{1}{2}$）と書き、積状態を $|m_l⟩|\uparrow ⟩$ などと表す。昇降演算子は角運動量 $j$ について
$$J_{-}|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j+m)(j-m+1)}|j,m-1⟩$$
とはたらき、$J_{-}=L_{-}+S_{-}$ である。合成した状態 $|J,M⟩$ のうち $|J=\frac{3}{2},M=\frac{3}{2}⟩=|1⟩|\uparrow ⟩$ とする。

積状態 $|0⟩|\uparrow ⟩$（$m_l=0$, $m_s=\frac{1}{2}$）にある系で ${\mathbf{J}}^2$ を測定したとき、$J=\frac{3}{2}$（すなわち ${\mathbf{J}}^2=\frac{15}{4}{\hslash }^2$）が得られる確率を既約分数で求めよ。

角運動量演算子 $\mathbf{J}=(J_x,J_y,J_z)$ について、${\mathbf{J}}^2$ と $J_z$ の規格化された同時固有状態を $|j,m⟩$ とする（${\mathbf{J}}^2|j,m⟩=j(j+1){\hslash }^2|j,m⟩$, $J_z|j,m⟩=m\hslash |j,m⟩$）。昇降演算子 $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y$ は
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$$
とはたらき、$|j,m⟩$ どうしは $m$ が異なれば直交する。

状態 $|2,1⟩$（$j=2$, $m=1$）における $J_x^2$ の期待値 $⟨2,1|J_x^2|2,1⟩$ を $\hslash$ を用いて表せ。