この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

量子力学（角運動量・近似法）の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理量子力学（角運動量・近似法）

量子数 $j_{1} = \frac{3}{2}$ の角運動量 $J_{1}$ と、量子数 $j_{2} = \frac{1}{2}$ の角運動量 $J_{2}$ を合成し、全角運動量を $J = J_{1} + J_{2}$ とする。 $J_{1}$ と $J_{2}$ の成分どうしは互いに交換する。 $J_{1 z}$ の固有値 $m_{1} ℏ$ と $J_{2 z}$ の固有値 $m_{2} ℏ$ をもつ規格化された積状態を $∣ m_{1}, m_{2} ⟩$ と書き、 $J^{2}$ の固有値 $J (J + 1) ℏ^{2}$ 、 $J_{z}$ の固有値 $M ℏ$ をもつ規格化された合成状態を $∣ J, M ⟩$ と書く。昇降演算子 $J_{\pm} = J_{x} \pm i J_{y}$ は、角運動量の量子数 $j$ の固有状態に対して
$J_{\pm} ∣ j, m ⟩ = ℏ j (j + 1) - m (m \pm 1) ∣ j, m \pm 1 ⟩$
とはたらき、 $J_{\pm} = J_{1 \pm} + J_{2 \pm}$ である。位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

合成状態 $∣ J = 1, M = 1 ⟩$ における $J_{1 z}$ の期待値を $⟨ J_{1 z} ⟩ = c ℏ$ と表すとき、定数 $c$ を分数で求めよ。

この問題で使うもの

角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（説明と入口の問題）
角運動量の固有状態と昇降演算子（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（100 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

まず $∣ J = 2, M = 2 ⟩$ が積状態 1 つで書けることを使い、降下演算子 $J_{-}$ を作用させて $∣2, 1 ⟩$ を作ります。 $∣1, 1 ⟩$ はそれと直交する $M = 1$ の状態です。

ヒント 2

$∣2, 2 ⟩ = ∣ \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩$ に $J_{-} = J_{1 -} + J_{2 -}$ を作用させると、係数 $3 ℏ$ と $ℏ$ が現れます。 $∣1, 1 ⟩$ の各成分の係数の 2 乗が、 $J_{1 z}$ の各値を得る確率です。

ヒント 3

$∣2, 1 ⟩ = \frac{3}{2} ∣ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + \frac{1}{2} ∣ \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩$ なので、 $∣1, 1 ⟩$ では $m_{1} = \frac{1}{2}$ の確率が $\frac{1}{4}$ 、 $m_{1} = \frac{3}{2}$ の確率が $\frac{3}{4}$ になります。

答えと解説

答えを見る

\frac{5}{4}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. 最大の状態から $∣2, 1 ⟩$ を作る

合成で得られる $J$ は $J = 2, 1$ である。 $M = 2$ となる積状態は 1 つだけなので
$∣2, 2 ⟩ = \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ .$
両辺に $J_{-} = J_{1 -} + J_{2 -}$ を作用させる。左辺は
$J_{-} ∣2, 2 ⟩ = ℏ 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 ∣2, 1 ⟩ = 2ℏ ∣2, 1 ⟩ .$
右辺は、 $J_{1 -} \frac{3}{2} ⟩ = ℏ \frac{15}{4} - \frac{3}{4} \frac{1}{2} ⟩ = 3 ℏ \frac{1}{2} ⟩$ 、 $J_{2 -} \frac{1}{2} ⟩ = ℏ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ⟩ = ℏ - \frac{1}{2} ⟩$ より
$J_{-} \frac{3}{2}, \frac{1}{2} ⟩ = 3 ℏ \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + ℏ \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ .$
よって
$∣2, 1 ⟩ = \frac{3}{2} \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + \frac{1}{2} \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ .$

2. 直交性から $∣1, 1 ⟩$ を求める

$M = 1$ の積状態は $\frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩$ と $\frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩$ の 2 つなので、 $∣1, 1 ⟩ = a \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + b \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩$ とおく。 $∣2, 1 ⟩$ と直交するから $\frac{3}{2} a + \frac{1}{2} b = 0$ 、規格化から $a^{2} + b^{2} = 1$ 。コンドン・ショートレーの規約（ $m_{1} = j_{1}$ の成分の係数を正にとる）より $b > 0$ なので
$∣1, 1 ⟩ = - \frac{1}{2} \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩ + \frac{3}{2} \frac{3}{2}, - \frac{1}{2} ⟩ .$

3. 期待値

積状態は $J_{1 z}$ の固有状態なので、各成分の確率（係数の 2 乗）で重みをつけて
$⟨ J_{1 z} ⟩ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} ℏ + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} ℏ = \frac{1}{8} ℏ + \frac{9}{8} ℏ = \frac{5}{4} ℏ.$

検算（射影定理）: $J_{1} \cdot J_{2} = \frac{1}{2} (J^{2} - J_{1}^{2} - J_{2}^{2})$ の値は $\frac{1}{2} (2 - \frac{15}{4} - \frac{3}{4}) ℏ^{2} = - \frac{5}{4} ℏ^{2}$ なので、 $J_{1} \cdot J = J_{1}^{2} + J_{1} \cdot J_{2}$ の値は $(\frac{15}{4} - \frac{5}{4}) ℏ^{2} = \frac{5}{2} ℏ^{2}$ 。射影定理より $⟨ J_{1 z} ⟩ = M ℏ \frac{⟨ J _{1} \cdot J ⟩}{J ( J + 1 ) ℏ ^{2}} = 1 \cdot ℏ \cdot \frac{5/2}{2} = \frac{5}{4} ℏ$ となり一致する。

したがって $c = \frac{5}{4}$ 。

別解

$∣2, 2 ⟩ = ∣3/2, 1/2 ⟩$ に $J_{-}$ を作用させる。 $J_{-} ∣2, 2 ⟩ = 2ℏ∣2, 1 ⟩$ 、 $J_{1 -} ∣3/2 ⟩ = 3 ℏ∣1/2 ⟩$ 、 $J_{2 -} ∣1/2 ⟩ = ℏ∣ - 1/2 ⟩$ より $∣2, 1 ⟩ = \frac{1}{2} (3 ∣1/2, 1/2 ⟩ + ∣3/2, - 1/2 ⟩)$ となる。

$∣1, 1 ⟩$ はこれと直交する。コンドン・ショートレーの規約では $m_{1} = j_{1}$ の成分の係数が正であるから、 $∣1, 1 ⟩ = \frac{3}{2} ∣3/2, - 1/2 ⟩ - \frac{1}{2} ∣1/2, 1/2 ⟩$ となる。

$J_{1 z}$ の期待値は $\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{4}$ となる。

検算: $⟨ J_{2 z} ⟩ = \frac{3}{4} (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}$ 。 $\frac{5}{4} - \frac{1}{4} = 1 = M$ となり、 $⟨ J_{z} ⟩ = M ℏ$ と一致する。

量子力学（角運動量・近似法）の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題