角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数

軌道角運動量 $\mathbf{L}$（$l=1$）とスピン $\mathbf{S}$（$s=\frac{1}{2}$）を合成して $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ とする。$L_z$ の固有状態を $|l=1,m_l⟩$、$S_z$ の固有状態を $|\uparrow ⟩$（$m_s=\frac{1}{2}$）, $|\downarrow ⟩$（$m_s=-\frac{1}{2}$）と書き、積状態を $|m_l⟩|\uparrow ⟩$ などと表す。昇降演算子は角運動量 $j$ について
$$J_{-}|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j+m)(j-m+1)}|j,m-1⟩$$
とはたらき、$J_{-}=L_{-}+S_{-}$ である。合成した状態 $|J,M⟩$ のうち $|J=\frac{3}{2},M=\frac{3}{2}⟩=|1⟩|\uparrow ⟩$ とする。

積状態 $|0⟩|\uparrow ⟩$（$m_l=0$, $m_s=\frac{1}{2}$）にある系で ${\mathbf{J}}^2$ を測定したとき、$J=\frac{3}{2}$（すなわち ${\mathbf{J}}^2=\frac{15}{4}{\hslash }^2$）が得られる確率を既約分数で求めよ。

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（量子数 $l=1$）とスピン角運動量 $\mathbf{S}$（量子数 $s=\frac{1}{2}$）を合成して、全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ を考える。$L_z$ の固有値 $m_l\hslash$ と $S_z$ の固有値 $m_s\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_l,m_s⟩$ と書く。

電子が状態
$$|\psi ⟩=|m_l=1,m_s=-\frac{1}{2}⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$j=\frac{3}{2}$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各角運動量の状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。

量子数 $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、量子数 $j_2=\frac{1}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1$ と ${\mathbf{J}}_2$ の成分どうしは互いに交換する。$J_{1z}$ の固有値 $m_1\hslash$ と $J_{2z}$ の固有値 $m_2\hslash$ をもつ規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書き、${\mathbf{J}}^2$ の固有値 $J(J+1){\hslash }^2$、$J_z$ の固有値 $M\hslash$ をもつ規格化された合成状態を $|J,M⟩$ と書く。昇降演算子 $J_{\pm }=J_x\pm i{J}_y$ は、角運動量の量子数 $j$ の固有状態に対して
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
とはたらき、$J_{\pm }=J_{1\pm }+J_{2\pm }$ である。位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

合成状態 $|J=1,M=1⟩$ における $J_{1z}$ の期待値を $⟨J_{1z}⟩=c\hslash$ と表すとき、定数 $c$ を分数で求めよ。

角運動量の大きさが $j_1=\frac{3}{2}$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_1$ と、$j_2=1$ の角運動量 ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1^2,J_{1z}$ の同時固有状態を $|j_1,m_1⟩$、${\mathbf{J}}_2^2,J_{2z}$ の同時固有状態を $|j_2,m_2⟩$ とし、積状態を $|m_1,m_2⟩\equiv |\frac{3}{2},m_1⟩|1,m_2⟩$ と書く。昇降演算子は
$$J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$$
にしたがって作用するものとし、位相はコンドン・ショートレーの規約に従う。

この系が積状態
$$|\psi ⟩=|m_1=\frac{1}{2},m_2=1⟩$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定する。測定値が $\frac{35}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{5}{2}$）、$\frac{15}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{3}{2}$）、$\frac{3}{4}{\hslash }^2$（$J=\frac{1}{2}$）となる確率を、この順に組で求めよ。

角運動量の大きさ $j_1=1$ と $j_2=1$ の 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ とする。${\mathbf{J}}_1^2,J_{1z}$ の同時固有状態を $|1,m_1⟩$、${\mathbf{J}}_2^2,J_{2z}$ の同時固有状態を $|1,m_2⟩$ と書き、積状態を $|m_1,m_2⟩=|1,m_1⟩|1,m_2⟩$ と略記する。位相はコンドン・ショートレーの規約に従い、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たす。

系が積状態 $|m_1,m_2⟩=|1,-1⟩$（$m_1=1$, $m_2=-1$）にあるとき、合成角運動量の大きさ ${\mathbf{J}}^2$ を測定して、固有値 $J(J+1){\hslash }^2$ の $J=2,1,0$ が得られる確率を、この順に組で求めよ。

角運動量の量子数がともに $1$ である 2 つの角運動量 ${\mathbf{J}}_1$, ${\mathbf{J}}_2$ を合成し、$\mathbf{J}={\mathbf{J}}_1+{\mathbf{J}}_2$ を考える。$J_{1z}$, $J_{2z}$ の固有値がそれぞれ $m_1\hslash$, $m_2\hslash$ である規格化された積状態を $|m_1,m_2⟩$ と書く（$m_1,m_2\in \{1,0,-1\}$）。

系が状態
$$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1,-1⟩+|0,0⟩)$$
にあるとき、${\mathbf{J}}^2$ を測定して固有値 $6{\hslash }^2$（合成角運動量の量子数 $J=2$）が得られる確率を求めよ。ただし、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たし、各状態の位相はこの式（係数が正の実数）に合わせて選ぶものとする。

スピン $1/2$ の電子 1 個が、軌道角運動量量子数 $l=2$ の状態（d 状態）にあるとする。動径部分は共通で、以下ではすべて $l=2$ の 10 次元の状態空間の中で考える。\n\n$\mathbf{L}$ と $\mathbf{S}$ を合成した全角運動量 $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ の固有状態を $|j,m⟩$（$j=5/2,3/2$）と書く。$|j,m⟩$ は $|l=2,m_l⟩\otimes |s=1/2,m_s⟩$ から、コンドン・ショートレーの位相規約に従うクレブシュ・ゴルダン係数で作るものとする（合成の順序は $l\otimes s$）。\n\n$T_0^{(2)}$ を、軌道の自由度にだけ作用するエルミートなランク 2 の球テンソル演算子の $q=0$ 成分とする（例: $3z^2-r^2$ に比例する電気四重極演算子）。$T_0^{(2)}$ はスピンには作用しない。また\n$$Q=⟨l=2,m_l=2,m_s|T_0^{(2)}|l=2,m_l=2,m_s⟩$$\nとおく（$Q$ は実数で、$m_s$ によらない）。\n\nこのとき\n$$S=\sum _{m=-3/2}^{3/2}{\left|⟨j=\frac{3}{2},m|T_0^{(2)}|j=\frac{5}{2},m⟩\right|}^2$$\nを $Q$ を用いて表せ。

スピン $\frac{1}{2}$ の区別できる粒子 1, 2, 3 が三角形の頂点に固定されている。粒子 $i$（$i=1,2,3$）のパウリ行列を ${\mathbf{\sigma }}_i=({\sigma }_{ix},{\sigma }_{iy},{\sigma }_{iz})$、スピン演算子を ${\mathbf{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\mathbf{\sigma }}_i$ とする。系のハミルトニアンは
$$H=J\left({\mathbf{\sigma }}_1\cdot {\mathbf{\sigma }}_2+{\mathbf{\sigma }}_2\cdot {\mathbf{\sigma }}_3+{\mathbf{\sigma }}_3\cdot {\mathbf{\sigma }}_1\right)(J>0)$$
で与えられ（$J$ はエネルギーの次元をもつ定数）、スピン以外の自由度は考えない。$S_{iz}$ の固有値 $+\frac{\hslash }{2}$, $-\frac{\hslash }{2}$ に属する固有状態を $|\uparrow {⟩}_i$, $|\downarrow {⟩}_i$ と書く。

時刻 $t=0$ で系が状態 $|\uparrow {⟩}_1|\uparrow {⟩}_2|\downarrow {⟩}_3$ にあった。その後、系の状態 $|\psi (t)⟩$ はシュレーディンガー方程式
$$i\hslash \frac{d}{dt}|\psi (t)⟩=H|\psi (t)⟩$$
に従って時間発展する（$\hslash$ は換算プランク定数で、$\hslash =1$ とはしない）。時刻 $t(\geqq 0)$ における粒子 3 のスピンの $z$ 成分の期待値 $⟨S_{3z}⟩(t)$ を、$\hslash$, $J$, $t$ を用いて表せ。

電子の軌道角運動量 $\mathbf{L}$（大きさ $l=2$）とスピン $\mathbf{S}$（$s=\frac{1}{2}$）を合成し、全角運動量を $\mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}$ とする。${\mathbf{L}}^2,L_z,{\mathbf{S}}^2,S_z$ の同時固有状態を $|m_l,m_s⟩$（$m_l=-2,\dots ,2$, $m_s=\pm \frac{1}{2}$）、${\mathbf{L}}^2,{\mathbf{S}}^2,{\mathbf{J}}^2,J_z$ の同時固有状態を $|j,m_j⟩$ と書く。位相はコンドン・ショートレーの規約に従い、昇降演算子は $J_{\pm }|j,m⟩=\hslash \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)}|j,m\pm 1⟩$ を満たす（$L_{\pm }$, $S_{\pm }$ も同様）。

電子が状態 $|j,m_j⟩=|\frac{3}{2},\frac{1}{2}⟩$ にあるとき、軌道角運動量の $z$ 成分の期待値 $⟨L_z⟩$ は $\hslash$ の何倍か。