3j 記号と D 関数の積の積分

3j 記号とクレブシュ・ゴルダン係数の換算・選択則を使い、 $\int d R D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} D_{m m^{'}}^{j *} = \frac{1}{2 j + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j m ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ j m^{'} ⟩$ の値や 3 つの球面調和関数の積の積分（ゴーント係数）を求められる

前提

ウィグナーの D 関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
球面調和関数による展開の係数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））

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算数中学高校大学大学院

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静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
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定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
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内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
対角化と行列の累乗（大学数学線形代数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
ケーリー・ハミルトンの定理と最小多項式（大学数学線形代数）
ジョルダン標準形（大学数学線形代数）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
変数分離形（大学数学微分方程式）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）
2 次不等式（数学I 2次関数）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
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平均値の定理（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
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行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ウィグナーの D 関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
交点の位置ベクトル（数学C ベクトル）
空間ベクトルと直線・平面（数学C ベクトル）
空間ベクトルの外積（大学数学ベクトル解析）
重積分と累次積分（大学数学微分積分）
偏微分と全微分（大学数学微分積分）
多変数の連鎖律（大学数学微分積分）
重積分の変数変換とヤコビアン（大学数学微分積分）
曲面の媒介変数表示と面積要素（大学数学ベクトル解析）
球面調和関数による展開の係数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））

説明

回転行列（ウィグナーの $D$ 関数）3 つの積を回転全体で平均した積分や、球面調和関数 3 つの積の球面上の積分（ゴーント係数）を、実際に角度で積分せずにクレブシュ・ゴルダン係数（CG 係数）の積として求めます。原子の多重極遷移の行列要素、結晶場や多極展開の係数、角運動量をもつ状態どうしの結合の強さを計算するときにいつも現れる積分で、選択則（どの組合せで 0 になるか）もそこから一目でわかります。CG 係数を対称な形に書き直した 3j 記号との換算も扱います。

なぜそうしてよいのか

記号を定めます。回転 $R = (α, β, γ)$ について $D_{m m^{'}}^{j} (R) = ⟨ j m ∣ D^(R) ∣ j m^{'} ⟩ = e^{- im α} d_{m m^{'}}^{j} (β) e^{- i m^{'} γ}$ とし、 $\int d R = \frac{1}{8 π ^{2}} \int_{0}^{2 π} d α \int_{0}^{π} sin β d β \int_{0}^{2 π} d γ$ （全体で $1$ に規格化）とします。CG 係数は実数の流儀（コンドン・ショートレーの流儀）をとります。2 つの状態の積の行列要素は $D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} = ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ D^(R) ∣ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ⟩$ です。ここで積状態を合成角運動量の状態 $∣ J M ⟩$ で $∣ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ⟩ = \sum_{J, M^{'}} ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ J M^{'} ⟩ ∣ J M^{'} ⟩$ と展開し、回転が $J$ ごとに $D^∣ J M^{'} ⟩ = \sum_{M} D_{M M^{'}}^{J} ∣ J M ⟩$ と働くことを使うと
$D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} = J \sum M, M^{'} \sum ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ J M ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ J M^{'} ⟩ D_{M M^{'}}^{J}$
が得られます（CG 係数は $M = m_{1} + m_{2}, M^{'} = m_{1}^{'} + m_{2}^{'}$ でしか 0 でないので、実際には $J$ についての和だけが残ります）。

ここに $D_{m m^{'}}^{j *}$ をかけて積分するときは、 $D$ 関数の直交関係 $\int d R D_{M M^{'}}^{J} (R) D_{m m^{'}}^{j *} (R) = \frac{δ _{J j} δ _{M m} δ _{M^{'} m^{'}}}{2 j + 1}$ を使います。 $α, γ$ の積分が $M = m, M^{'} = m^{'}$ を選び、残りの $β$ 積分が異なる $J$ を区別するという関係で、 $J = j$ のときの値 $1/ (2 j + 1)$ は $\sum_{m} ∣ D_{m m^{'}}^{j} ∣^{2} = 1$ （ $D^$ はユニタリ）を $m$ について足して平均すれば $1$ になることと合っています。こうして和の中の 1 項だけが残り
$\int d R D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} D_{m m^{'}}^{j *} = \frac{1}{2 j + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j m ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ j m^{'} ⟩$
となります。3j 記号は CG 係数を 3 つの角運動量について対称に書き直したもので、 $(j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} j_{3} m_{3}) = \frac{( - 1 ) ^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{2 j _{3} + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j_{3}, - m_{3} ⟩$ で定義します。 $m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0$ と三角条件 $∣ j_{1} - j_{2} ∣ \leq j_{3} \leq j_{1} + j_{2}$ を満たさなければ 0 です。

球面調和関数は $D$ 関数の特別な成分で、 $Y_{l}^{m} (θ, φ) = \frac{2 l + 1}{4 π} D_{m 0}^{l *} (φ, θ, 0)$ です（ $m^{'} = 0$ なので $γ$ によらず、 $γ$ 積分は $\int d R$ を $\int \frac{d Ω}{4 π}$ に変えるだけ）。上の公式の両辺の複素共役をとって代入すると、ゴーント係数
$\int d Ω Y_{l_{1}}^{m_{1}} Y_{l_{2}}^{m_{2}} Y_{l}^{m *} = \frac{( 2 l _{1} + 1 ) ( 2 l _{2} + 1 )}{4 π ( 2 l + 1 )} ⟨ l_{1} 0 l_{2} 0∣ l 0 ⟩ ⟨ l_{1} m_{1} l_{2} m_{2} ∣ l m ⟩$
が得られます。 $⟨ l_{1} 0 l_{2} 0∣ l 0 ⟩$ は $l_{1} + l_{2} + l$ が奇数のとき 0 になるので、偶奇（パリティ）の選択則もここに含まれています。

手順

積分を $D$ 関数（または $Y_{l}^{m}$ ）3 つの積の形に整理し、どれに複素共役がついているかを確かめる。 $Y$ の場合は $Y_{l}^{m} = \frac{2 l + 1}{4 π} D_{m 0}^{l *}$ を思い出す。
選択則を調べる: $m = m_{1} + m_{2}$ 、 $m^{'} = m_{1}^{'} + m_{2}^{'}$ 、三角条件 $∣ j_{1} - j_{2} ∣ \leq j \leq j_{1} + j_{2}$ 、ゴーント係数ならさらに $l_{1} + l_{2} + l$ が偶数。満たさなければ答えは 0。
公式に当てはめる。 $D$ 関数なら $\frac{1}{2 j + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j m ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ j m^{'} ⟩$ 、ゴーント係数なら $\frac{( 2 l _{1} + 1 ) ( 2 l _{2} + 1 )}{4 π ( 2 l + 1 )} ⟨ l_{1} 0 l_{2} 0∣ l 0 ⟩ ⟨ l_{1} m_{1} l_{2} m_{2} ∣ l m ⟩$ 。
必要な CG 係数を求める（最大の $m$ の状態から $J_{-}$ を作用させて求めるか、3j 記号の表から $⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j m ⟩ = (- 1)^{j_{1} - j_{2} + m} 2 j + 1 (j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} j - m)$ で換算する）。
数値を代入して積を計算する。

例題

球面調和関数はコンドン・ショートレーの位相の規約で規格化された $Y_{l}^{m} (θ, φ)$ （ $\int ∣ Y_{l}^{m} ∣^{2} d Ω = 1$ ）とし、 $d Ω = sin θ d θ d φ$ とする。積分
$\int d Ω Y_{1}^{1} (θ, φ) Y_{1}^{0} (θ, φ) Y_{2}^{1 *} (θ, φ)$
の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $l_{1} = 1, m_{1} = 1$ 、 $l_{2} = 1, m_{2} = 0$ 、 $l = 2, m = 1$ で、共役は $Y_{2}^{1}$ についている。ゴーント係数の形そのものである。

手順 2: $m_{1} + m_{2} = 1 = m$ 、 $∣1 - 1∣ \leq 2 \leq 1 + 1$ 、 $l_{1} + l_{2} + l = 4$ は偶数。選択則はすべて満たされる。

手順 3:
$\int d Ω Y_{1}^{1} Y_{1}^{0} Y_{2}^{1 *} = \frac{3 \cdot 3}{4 π \cdot 5} ⟨ 1010∣20 ⟩ ⟨ 1110∣21 ⟩ .$

手順 4: $∣22 ⟩ = ∣1, 1 ⟩ ∣1, 1 ⟩$ に $J_{-} = J_{1 -} + J_{2 -}$ を作用させると、 $J_{-} ∣ j m ⟩ = (j + m) (j - m + 1) ∣ j, m - 1 ⟩$ より $2∣21 ⟩ = 2 (∣1, 0 ⟩ ∣1, 1 ⟩ + ∣1, 1 ⟩ ∣1, 0 ⟩)$ 、すなわち $∣21 ⟩ = \frac{1}{2} (∣10 ⟩ ∣11 ⟩ + ∣11 ⟩ ∣10 ⟩)$ なので $⟨ 1110∣21 ⟩ = \frac{1}{2}$ 。もう一度 $J_{-}$ を作用させると $6 ∣20 ⟩ = \frac{1}{2} (2 ∣1, - 1 ⟩ ∣11 ⟩ + 22 ∣10 ⟩ ∣10 ⟩ + 2 ∣11 ⟩ ∣1, - 1 ⟩)$ 、すなわち $∣20 ⟩ = \frac{1}{6} (∣1, - 1 ⟩ ∣11 ⟩ + 2∣10 ⟩ ∣10 ⟩ + ∣11 ⟩ ∣1, - 1 ⟩)$ なので $⟨ 1010∣20 ⟩ = \frac{2}{6} = \frac{2}{3}$ 。

手順 5:
$\frac{9}{20 π} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{20 π} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{20 π} .$
（確認: $Y_{1}^{1} = - \frac{3}{8 π} sin θ e^{i φ}$ 、 $Y_{1}^{0} = \frac{3}{4 π} cos θ$ 、 $Y_{2}^{1} = - \frac{15}{8 π} sin θ cos θ e^{i φ}$ を直接代入すると、 $\frac{3}{8 π} \cdot \frac{3}{4 π} \cdot \frac{15}{8 π} \int sin^{2} θ cos^{2} θ d Ω = \frac{135}{16 π ^{3/2}} \cdot \frac{8 π}{15} = \frac{3}{20 π}$ で一致する。）

答え: $\frac{3}{20 π}$

よくある誤り

ゴーント係数で $⟨ l_{1} 0 l_{2} 0∣ l 0 ⟩$ の因子を落とし、 $\frac{( 2 l _{1} + 1 ) ( 2 l _{2} + 1 )}{4 π ( 2 l + 1 )} ⟨ l_{1} m_{1} l_{2} m_{2} ∣ l m ⟩$ だけにしてしまう誤り。例題ではこれだと $\frac{9}{40 π}$ になって $\frac{2}{3}$ 倍がずれる。CG 係数は $m$ の組と $m = 0$ の組の 2 つが必要で、後者がパリティの選択則（ $l_{1} + l_{2} + l$ が偶数）を担う。
$D$ 関数の積分で $\frac{1}{2 j + 1}$ の代わりに $\frac{1}{2 j _{1} + 1}$ などを使ったり、 $\int d R$ の規格化を $8 π^{2}$ のままにしたりする誤り。 $\int d R = 1$ と規格化したときに $\int d R D_{m_{1} m_{1}^{'}}^{j_{1}} D_{m_{2} m_{2}^{'}}^{j_{2}} D_{m m^{'}}^{j *} = \frac{1}{2 j + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j m ⟩ ⟨ j_{1} m_{1}^{'} j_{2} m_{2}^{'} ∣ j m^{'} ⟩$ で、分母は共役がついた $D^{j}$ の $j$ である。測度を $\int d α sin β d β d γ$ とするなら全体に $8 π^{2}$ がかかる。
3j 記号と CG 係数を同じものとして入れ替えてしまう誤り。 $(1110 2 - 1)$ は $⟨ 1110∣21 ⟩ = \frac{1}{2}$ ではなく、 $\frac{( - 1 ) ^{1 - 1 + 1}}{5} \cdot \frac{1}{2} = - \frac{1}{10}$ である。3j 記号では 3 つ目の $m$ の符号が反転し（ $m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0$ ）、因子 $\frac{( - 1 ) ^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{2 j _{3} + 1}$ がつく。
$m$ の選択則を共役の有無を無視して $m_{1} + m_{2} + m = 0$ としてしまう誤り。 $\int Y_{l_{1}}^{m_{1}} Y_{l_{2}}^{m_{2}} Y_{l}^{m *} d Ω$ では $φ$ 積分 $\int_{0}^{2 π} e^{i (m_{1} + m_{2} - m) φ} d φ$ から $m = m_{1} + m_{2}$ が条件。3 つとも共役なしの $\int Y_{l_{1}}^{m_{1}} Y_{l_{2}}^{m_{2}} Y_{l_{3}}^{m_{3}} d Ω$ なら $m_{1} + m_{2} + m_{3} = 0$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
コンドン・ショートレーの位相規約に従う正規直交な球面調和関数 $Y_{l}^{m} (θ, φ)$ について、3 つの積の積分（ゴーント係数）は
$\int Y_{l_{1}}^{m_{1}} Y_{l_{2}}^{m_{2}} Y_{l_{3}}^{m_{3}} d Ω = \frac{( 2 l _{1} + 1 ) ( 2 l _{2} + 1 ) ( 2 l _{3} + 1 )}{4 π} (l_{1} 0 l_{2} 0 l_{3} 0) (l_{1} m_{1} l_{2} m_{2} l_{3} m_{3})$
で与えられる（ $d Ω = sin θ d θ d φ$ ）。また 3j 記号とクレブシュ・ゴルダン係数は
$(j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} j_{3} m_{3}) = \frac{( - 1 ) ^{j_{1} - j_{2} - m_{3}}}{2 j _{3} + 1} ⟨ j_{1} m_{1} j_{2} m_{2} ∣ j_{3}, - m_{3} ⟩$
の関係にある。これらを用いて、積分
$\int Y_{1}^{0} Y_{1}^{0} Y_{2}^{0} d Ω$
の値を求めよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
角運動量演算子を $J$ とし、 $ℏ = 1$ とする。オイラー角 $(α, β, γ)$ で表した回転 $R$ に対するウィグナーの D 関数を
$D_{m m^{'}}^{j} (α, β, γ) = ⟨ j m ∣ e^{- i α J_{z}} e^{- i β J_{y}} e^{- iγ J_{z}} ∣ j m^{'} ⟩$
で定義する。角運動量の固有状態の位相は Condon–Shortley の流儀に従うものとする。範囲は $0 \leq α < 2 π$ , $0 \leq β \leq π$ , $0 \leq γ < 2 π$ とし、 $S O (3)$ 上の積分を
$\int d R f (R) = \frac{1}{8 π ^{2}} \int_{0}^{2 π} d α \int_{0}^{π} sin β d β \int_{0}^{2 π} d γ f (α, β, γ)$
と規格化する（ $\int d R 1 = 1$ ）。このとき積分
$I = \int d R D_{1, 0}^{1} (R) D_{0, 1}^{1} (R) [D_{1, 1}^{2} (R)]^{*}$
の値を、既約分数で求めよ。

この技能の次に学べること

ウィグナー・エッカルトの定理（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））