ウィグナー・エッカルトの定理

$⟨ j^{'} m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ = ⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩ \frac{⟨ j ^{'} ∥ T ^{(k)} ∥ j ⟩}{2 j ^{'} + 1}$ を使い、1 つの行列要素から換算行列要素を決めて他の行列要素やその 2 乗和を求め、軌道だけに作用する演算子の $∣ l s j m ⟩$ 基底での行列要素を $∣ l m_{l} ⟩ \otimes ∣ s m_{s} ⟩$ への分解（またはラカー係数）で計算できる

前提

球テンソル演算子と選択則（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
3j 記号と D 関数の積の積分（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））

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算数中学高校大学大学院

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球テンソル演算子と選択則（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））
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べき級数と収束半径（大学数学微分積分）
行列の指数関数と連立線形微分方程式（大学数学線形代数）
対称行列の直交対角化（大学数学線形代数）
2 次形式の標準形と符号（大学数学線形代数）
エルミート行列とエルミート形式の符号（大学数学線形代数）
スピン 1/2 とパウリ行列（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ウィグナーの D 関数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））
3j 記号と D 関数の積の積分（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））

説明

球テンソル演算子 $T_{q}^{(k)}$ の行列要素 $⟨ j^{'} m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩$ は、磁気量子数 $m, m^{'}, q$ への依存がすべてクレブシュ・ゴルダン係数で決まり、残りは $m$ によらない 1 つの数（換算行列要素 $⟨ j^{'} ∥ T^{(k)} ∥ j ⟩$ ）にまとまる、というのがウィグナー・エッカルトの定理です。この技能では
$⟨ j^{'} m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ = ⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩ \frac{⟨ j ^{'} ∥ T ^{(k)} ∥ j ⟩}{2 j ^{'} + 1}$
を使い、1 つの行列要素から換算行列要素を決めて残りの行列要素や 2 乗和を求めます。双極子遷移の強度比、四重極モーメントの $m$ 依存性、スピン軌道結合した $∣ l s j m ⟩$ 状態での軌道演算子の行列要素などの計算に使います。

なぜそうしてよいのか

鍵は「 $T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩$ という状態の組は、回転に対して $∣ k q ⟩ \otimes ∣ j m ⟩$ と同じように振る舞う」ことです。実際、 $J_{z} T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ = ([J_{z}, T_{q}^{(k)}] + T_{q}^{(k)} J_{z}) ∣ j m ⟩ = ℏ (q + m) T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩$ であり、 $J_{\pm}$ についても交換関係 $[J_{\pm}, T_{q}^{(k)}] = ℏ (k \mp q) (k \pm q + 1) T_{q \pm 1}^{(k)}$ のおかげで、 $J_{\pm}$ が $∣ k q ⟩$ と $∣ j m ⟩$ の両方に昇降演算子として働くのとまったく同じ式になります。そこで角運動量の合成と同じ係数で
$∣ J M ⟩ = m, q \sum ⟨ j m; k q ∣ J M ⟩ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩$
を作ると、 $∣ J M ⟩$ （ $M = - J, \dots, J$ ）は $J^{2}, J_{z}$ の固有状態で、 $J_{\pm}$ で標準的な比 $ℏ (J \mp M) (J \pm M + 1)$ でつながる組になります（ただし規格化されているとは限りません）。逆に解けば $T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ = \sum_{J, M} ⟨ j m; k q ∣ J M ⟩ ∣ J M ⟩$ です。

これと $⟨ j^{'} m^{'} ∣$ との内積をとります。固有値が違う固有状態は直交するので、 $J = j^{'}$ , $M = m^{'}$ の項だけが残ります。さらに $c_{M} = ⟨ j^{'} M ∣ j^{'} M ⟩$ は $M$ によりません。 $∣ j^{'} M + 1 ⟩ = \frac{J _{+} ∣ j ^{'} M ⟩}{ℏ ( j ^{'} - M ) ( j ^{'} + M + 1 )}$ と書き、 $J_{+}$ を左に移して $⟨ j^{'} M + 1∣ J_{+} = ℏ (j^{'} - M) (j^{'} + M + 1) ⟨ j^{'} M ∣$ を使うと $c_{M + 1} = c_{M}$ となるからです。この共通の値を $\frac{⟨ j ^{'} ∥ T ^{(k)} ∥ j ⟩}{2 j ^{'} + 1}$ と名付けたのが定理の式です（ $2 j^{'} + 1$ で割るのは流儀で、教科書によって異なります）。

この式から、2 乗和は $m$ によりません。クレブシュ・ゴルダン係数の直交性 $\sum_{m, q} ∣ ⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩ ∣^{2} = 1$ （ $m^{'}$ を固定）と、 $m$ を固定した $\sum_{m^{'}, q} ∣ ⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩ ∣^{2} = \frac{2 j ^{'} + 1}{2 j + 1}$ から $\sum_{m^{'}, q} ∣ ⟨ j^{'} m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ ∣^{2} = \frac{∣ ⟨ j ^{'} ∥ T ^{(k)} ∥ j ⟩ ∣ ^{2}}{2 j + 1}$ です。また、軌道だけに作用する演算子を $∣ l s j m ⟩$ で挟むときは、 $∣ l s j m ⟩ = \sum_{m_{l}, m_{s}} ⟨ l m_{l}; s m_{s} ∣ j m ⟩ ∣ l m_{l} ⟩ ∣ s m_{s} ⟩$ と分解し、スピン部分は $⟨ s m_{s}^{'} ∣ s m_{s} ⟩ = δ_{m_{s} m_{s}^{'}}$ で落として、軌道部分の行列要素にこの定理を使えばよいのです。

手順

演算子を球テンソルの成分 $T_{q}^{(k)}$ に直す。たとえばベクトル $V$ なら $T_{0}^{(1)} = V_{z}$ 、 $T_{\pm 1}^{(1)} = \mp \frac{V _{x} \pm i V _{y}}{2}$ 。既約でない演算子（ $z^{2}$ など）は階数ごとに分ける
選択則 $m^{'} = m + q$ 、 $∣ j - k ∣ \leq j^{'} \leq j + k$ を確認し、0 になる行列要素を除く
値のわかっている行列要素 1 つに定理の式を当てはめ、換算行列要素 $⟨ j^{'} ∥ T^{(k)} ∥ j ⟩$ を求める
求めたい行列要素に同じ式を当てはめる。比だけなら $\frac{⟨ j ^{'} m _{2}^{'} ∣ T _{q_{2}}^{(k)} ∣ j m _{2} ⟩}{⟨ j ^{'} m _{1}^{'} ∣ T _{q_{1}}^{(k)} ∣ j m _{1} ⟩} = \frac{⟨ j m _{2} ; k q _{2} ∣ j ^{'} m _{2}^{'} ⟩}{⟨ j m _{1} ; k q _{1} ∣ j ^{'} m _{1}^{'} ⟩}$
2 乗和なら $\sum_{m^{'}, q} ∣ ⟨ j^{'} m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ ∣^{2} = \frac{∣ ⟨ j ^{'} ∥ T ^{(k)} ∥ j ⟩ ∣ ^{2}}{2 j + 1}$ を使う
$∣ l s j m ⟩$ 基底で軌道演算子を挟むときは、 $∣ l m_{l} ⟩ ∣ s m_{s} ⟩$ に分解して同じ $m_{s}$ どうしの項を足し、各項の軌道部分に定理を使う

例題

角運動量 $j = 1$ の状態 $∣1 m ⟩$ と、階数 2 の球テンソル演算子 $T_{q}^{(2)}$ がある。 $⟨ 1 1∣ T_{0}^{(2)} ∣1 1 ⟩ = A$ であるとき、 $⟨ 1 0∣ T_{0}^{(2)} ∣1 0 ⟩$ を $A$ で表せ。必要なら、クレブシュ・ゴルダン係数 $⟨ 11; 2 0∣1 1 ⟩ = \frac{1}{10}$ 、 $⟨ 10; 2 0∣1 0 ⟩ = - \frac{2}{10}$ を用いてよい。

例題の解答

手順 1・2: 演算子はすでに $T_{0}^{(2)}$ の形です。 $q = 0$ なので $m^{'} = m$ で選択則を満たし、 $∣1 - 2∣ \leq 1 \leq 1 + 2$ も満たします。

手順 3: 定理より
$A = ⟨ 1 1∣ T_{0}^{(2)} ∣1 1 ⟩ = ⟨ 11; 2 0∣1 1 ⟩ \frac{⟨ 1∥ T ^{(2)} ∥1 ⟩}{3} = \frac{1}{10} \cdot \frac{⟨ 1∥ T ^{(2)} ∥1 ⟩}{3}$
なので $⟨ 1∥ T^{(2)} ∥1 ⟩ = 30 A$ 。

手順 4: 同じ式で
$⟨ 1 0∣ T_{0}^{(2)} ∣1 0 ⟩ = ⟨ 10; 2 0∣1 0 ⟩ \frac{30 A}{3} = - \frac{2}{10} \cdot 10 A = - 2 A .$

確認: $T_{0}^{(2)}$ の例として $3 J_{z}^{2} - J^{2}$ （階数 2 の $q = 0$ 成分に比例）をとると、 $m = 1$ で $(3 - 2) ℏ^{2} = ℏ^{2}$ 、 $m = 0$ で $(0 - 2) ℏ^{2} = - 2 ℏ^{2}$ となり、比 $- 2$ が一致します。

答え: $- 2 A$

よくある誤り

クレブシュ・ゴルダン係数の角運動量の並び順を入れ替え、 $⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩$ の代わりに $⟨ k q; j m ∣ j^{'} m^{'} ⟩$ をそのまま使ってしまう誤り。両者は $⟨ k q; j m ∣ j^{'} m^{'} ⟩ = (- 1)^{j + k - j^{'}} ⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩$ と符号が違いうるので、定理の式と同じ順序の係数を使う（または符号を補正する）。
換算行列要素の流儀を混ぜてしまう誤り。ここでの式は $\frac{⟨ j ^{'} ∥ T ∥ j ⟩}{2 j ^{'} + 1}$ だが、 $2 j^{'} + 1$ を付けない流儀や 3j 記号で書く流儀もある。別の資料の $⟨ j^{'} ∥ T ∥ j ⟩$ の値を使うときは、同じ行列要素を両方の式で書いて換算する。1 つの計算の中では 1 つの流儀で通す。
直交座標成分 $x, y$ をそのまま $T_{\pm 1}^{(1)}$ とみなす誤り。正しくは $T_{\pm 1}^{(1)} = \mp \frac{x \pm i y}{2}$ 、 $T_{0}^{(1)} = z$ で、たとえば $x = \frac{T _{- 1}^{(1)} - T _{1}^{(1)}}{2}$ と 2 つの成分の和に分けてから定理を使う。
既約でない演算子に 1 つの換算行列要素で定理を使ってしまう誤り。たとえば $z^{2} = \frac{r ^{2}}{3} + \frac{3 z ^{2} - r ^{2}}{3}$ は階数 0 と階数 2 の和なので、 $⟨ l m ∣ z^{2} ∣ l m ⟩$ は 2 つの換算行列要素を使って階数ごとに定理を当てはめ、足し合わせる必要がある。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
ある系の角運動量 $j = 1$ の固有状態 $∣1, m ⟩$ （ $m = - 1, 0, 1$ ）と、階数 $1$ の球テンソル演算子（ベクトル演算子） $T_{q}^{(1)}$ （ $q = - 1, 0, 1$ ）を考える。ウィグナー・エッカルトの定理を
$⟨ j^{'} m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j m ⟩ = ⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩ \frac{⟨ j ^{'} ∥ T ^{(k)} ∥ j ⟩}{2 j ^{'} + 1}$
の形で用いる（ $⟨ j m; k q ∣ j^{'} m^{'} ⟩$ はコンドン・ショートレーの位相のクレブシュ・ゴルダン係数）。
行列要素が $⟨ 1, 1∣ T_{0}^{(1)} ∣1, 1 ⟩ = A$ （ $A$ は実定数）であるとき、 $⟨ 1, 1∣ T_{+ 1}^{(1)} ∣1, 0 ⟩$ を $A$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
スピン $1/2$ の電子 1 個が、軌道角運動量量子数 $l = 2$ の状態（d 状態）にあるとする。動径部分は共通で、以下ではすべて $l = 2$ の 10 次元の状態空間の中で考える。\n\n $L$ と $S$ を合成した全角運動量 $J = L + S$ の固有状態を $∣ j, m ⟩$ （ $j = 5/2, 3/2$ ）と書く。 $∣ j, m ⟩$ は $∣ l = 2, m_{l} ⟩ \otimes ∣ s = 1/2, m_{s} ⟩$ から、コンドン・ショートレーの位相規約に従うクレブシュ・ゴルダン係数で作るものとする（合成の順序は $l \otimes s$ ）。\n\n $T_{0}^{(2)}$ を、軌道の自由度にだけ作用するエルミートなランク 2 の球テンソル演算子の $q = 0$ 成分とする（例: $3 z^{2} - r^{2}$ に比例する電気四重極演算子）。 $T_{0}^{(2)}$ はスピンには作用しない。また\n $Q = ⟨ l = 2, m_{l} = 2, m_{s} ∣ T_{0}^{(2)} ∣ l = 2, m_{l} = 2, m_{s} ⟩$ \nとおく（ $Q$ は実数で、 $m_{s}$ によらない）。\n\nこのとき\n $S = m = - 3/2 \sum 3/2 ⟨ j = \frac{3}{2}, m ∣ T_{0}^{(2)} ∣ j = \frac{5}{2}, m ⟩^{2}$ \nを $Q$ を用いて表せ。