球テンソル演算子と選択則

$[J_{z}, T_{q}^{(k)}] = ℏ q T_{q}^{(k)}$ 、 $[J_{\pm}, T_{q}^{(k)}] = ℏ (k \mp q) (k \pm q + 1) T_{q \pm 1}^{(k)}$ を満たす球テンソル演算子として $r$ や $3 z^{2} - r^{2}$ を成分 $T_{q}^{(k)}$ に書き直し、角運動量・磁気量子数・パリティの選択則（ $Δ m = q$ 、 $∣ j - j^{'} ∣ \leq k \leq j + j^{'}$ など）から行列要素が 0 になるかを判定できる

前提

角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
球面調和関数による展開の係数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））

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算数中学高校大学大学院

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角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
ルジャンドル多項式の直交性と漸化式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
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球面調和関数による展開の係数（大学院物理物理数学（群論・グリーン関数・特殊関数））

説明

原子の光の吸収・放出や電場・電気四重極による摂動では、 $⟨ n^{'} l^{'} m^{'} ∣ z ∣ n l m ⟩$ や $⟨ n^{'} l^{'} m^{'} ∣ x y ∣ n l m ⟩$ のような行列要素がたくさん現れます。演算子を、角運動量 $k$ ・成分 $q$ をもつ「球テンソル演算子」 $T_{q}^{(k)}$ の組み合わせに書き直すと、積分を実行しなくても、 $Δ m = q$ 、 $∣ l - k ∣ \leq l^{'} \leq l + k$ 、パリティの条件だけで、どの行列要素が 0 になるかを判定できます（選択則）。これにより、計算すべき行列要素を大幅に絞り込めます。

なぜそうしてよいのか

演算子の組 $T_{q}^{(k)}$ （ $q = - k, \dots, k$ ）が
$[J_{z}, T_{q}^{(k)}] = ℏ q T_{q}^{(k)}, [J_{\pm}, T_{q}^{(k)}] = ℏ (k \mp q) (k \pm q + 1) T_{q \pm 1}^{(k)}$
を満たすとき、これを階数 $k$ の球テンソル演算子と呼びます。右辺の係数は、状態 $∣ k, q ⟩$ に $J_{z}$ 、 $J_{\pm}$ を作用させたときの係数 $ℏ q$ 、 $ℏ (k \mp q) (k \pm q + 1)$ と同じです。つまり $T_{q}^{(k)}$ は、角運動量について状態 $∣ k, q ⟩$ とそっくり同じようにふるまう演算子です。例えば $L = r \times p$ との交換関係 $[L_{z}, x \pm i y] = \pm ℏ (x \pm i y)$ 、 $[L_{z}, z] = 0$ 、 $[L_{+}, z] = - ℏ (x + i y)$ などから、
$T_{\pm 1}^{(1)} = \mp \frac{x \pm i y}{2}, T_{0}^{(1)} = z$
が $k = 1$ の球テンソルになることが確かめられます。一般に $r^{k} Y_{k}^{q} (θ, φ)$ に比例する演算子は $T_{q}^{(k)}$ で、 $Y_{1}^{\pm 1} \propto \mp sin θ e^{\pm i φ}$ 、 $Y_{2}^{0} \propto 3 cos^{2} θ - 1$ 、 $Y_{2}^{\pm 2} \propto sin^{2} θ e^{\pm 2 i φ}$ から、 $3 z^{2} - r^{2} \propto T_{0}^{(2)}$ 、 $(x \pm i y)^{2} \propto T_{\pm 2}^{(2)}$ となります。

この性質から選択則が出ます。まず $J_{z} T_{q}^{(k)} ∣ j, m ⟩ = (T_{q}^{(k)} J_{z} + ℏ q T_{q}^{(k)}) ∣ j, m ⟩ = ℏ (m + q) T_{q}^{(k)} ∣ j, m ⟩$ なので、 $T_{q}^{(k)} ∣ j, m ⟩$ は $J_{z}$ の固有値 $ℏ (m + q)$ の状態で、 $⟨ j^{'}, m^{'} ∣ T_{q}^{(k)} ∣ j, m ⟩ \neq = 0$ には $m^{'} = m + q$ が必要です。次に、 $J_{\pm}$ についても状態の組 $T_{q}^{(k)} ∣ j, m ⟩$ は積状態 $∣ k, q ⟩ ∣ j, m ⟩$ と同じ規則で移り合うので、これらの状態は角運動量の合成と同じく全角運動量 $j^{'} = ∣ j - k ∣, \dots, j + k$ の成分だけからなります。よって $∣ j - k ∣ \leq j^{'} \leq j + k$ でなければ行列要素は 0 です。

さらに空間反転 $r \to - r$ で演算子が $\pm$ 倍になる（ $r$ の 1 次式は $- 1$ 倍、2 次式は $+ 1$ 倍）とき、 $Y_{l}^{m}$ のパリティが $(- 1)^{l}$ なので、被積分関数全体が奇関数になる組み合わせでは積分が 0 です。すなわち $(- 1)^{l^{'}} = π_{T} (- 1)^{l}$ （ $π_{T}$ は演算子のパリティ）が必要です。角運動量の三角条件とパリティは別々の条件なので、両方を課します。

手順

演算子を直交座標の多項式から $r^{k} Y_{k}^{q}$ の組み合わせに書き直す（ $z \propto T_{0}^{(1)}$ 、 $x \pm i y \propto T_{\pm 1}^{(1)}$ 、 $3 z^{2} - r^{2} \propto T_{0}^{(2)}$ 、 $(x \pm i y)^{2} \propto T_{\pm 2}^{(2)}$ 、 $z (x \pm i y) \propto T_{\pm 1}^{(2)}$ 、 $r^{2} \propto T_{0}^{(0)}$ など）
現れる各成分 $T_{q}^{(k)}$ について、磁気量子数の条件 $m^{'} = m + q$ を課す
角運動量の三角条件 $∣ l - k ∣ \leq l^{'} \leq l + k$ を課す（さらに $∣ m^{'} ∣ \leq l^{'}$ も必要）
演算子のパリティ $π_{T}$ を調べ、 $(- 1)^{l^{'}} = π_{T} (- 1)^{l}$ を課す（ $r$ の 1 次式は奇、2 次式は偶）
すべての条件を満たす $(l^{'}, m^{'})$ だけが 0 でない行列要素を与えうる。条件を 1 つでも破るものは 0 と判定する

例題

水素原子の状態 $∣ n, l, m ⟩$ について、演算子 $x y$ の行列要素
$⟨ n^{'}, l^{'}, m^{'} ∣ x y ∣3, 2, 0 ⟩$
を考える。 $n^{'}$ は十分大きな値に固定されていて、動径部分の積分は 0 にならないものとする。角運動量（球テンソル演算子の選択則）とパリティによって 0 と判定されない状態 $∣ n^{'}, l^{'}, m^{'} ⟩$ が存在するような $l^{'}$ の値をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1： $(x \pm i y)^{2} = x^{2} - y^{2} \pm 2 i x y$ より
$x y = \frac{( x + i y ) ^{2} - ( x - i y ) ^{2}}{4 i} .$
$(x \pm i y)^{2} = r^{2} sin^{2} θ e^{\pm 2 i φ} \propto r^{2} Y_{2}^{\pm 2}$ なので、 $x y$ は $T_{+ 2}^{(2)}$ と $T_{- 2}^{(2)}$ の和で、 $k = 2$ 、 $q = \pm 2$ の成分だけからなる（ $k = 0$ の成分 $r^{2}$ は含まない）。

手順 2：始状態は $m = 0$ なので、 $m^{'} = 0 + q = \pm 2$ 。

手順 3： $l = 2$ 、 $k = 2$ より $∣2 - 2∣ \leq l^{'} \leq 2 + 2$ 、すなわち $l^{'} \in {0, 1, 2, 3, 4}$ 。さらに $∣ m^{'} ∣ = 2 \leq l^{'}$ より $l^{'} \in {2, 3, 4}$ 。

手順 4： $x y$ は $r \to - r$ で不変（ $π_{T} = + 1$ ）。始状態のパリティは $(- 1)^{2} = + 1$ なので、 $(- 1)^{l^{'}} = + 1$ 、つまり $l^{'}$ は偶数。よって $l^{'} = 2, 4$ 。

手順 5：残るのは $(l^{'}, m^{'}) = (2, \pm 2), (4, \pm 2)$ で、 $l^{'}$ の値は $2$ と $4$ 。（ $n^{'} \geq 5$ なら $l^{'} = 4$ の状態が存在する。）

答え: ${2, 4}$

よくある誤り

角運動量の三角条件だけで判定し、パリティを忘れる誤り。上の例で $l^{'} = 3$ 、 $m^{'} = \pm 2$ は $∣2 - 2∣ \leq 3 \leq 4$ と $∣ m^{'} ∣ \leq l^{'}$ を満たすが、 $x y$ はパリティ偶、 $l = 2$ も偶なので $(- 1)^{l^{'}} = + 1$ が必要で $l^{'} = 3$ は禁止される。正しくは三角条件 $∣ l - k ∣ \leq l^{'} \leq l + k$ とパリティ $(- 1)^{l^{'}} = π_{T} (- 1)^{l}$ の両方を課す。
$x$ や $y$ を球テンソルの 1 成分と思い、 $Δ m = 0$ や $Δ m = + 1$ だけを許してしまう誤り。 $x = \frac{T _{- 1}^{(1)} - T _{+ 1}^{(1)}}{2}$ 、 $y = \frac{i ( T _{- 1}^{(1)} + T _{+ 1}^{(1)} )}{2}$ は $q = \pm 1$ の和なので、正しくは $Δ m = \pm 1$ の両方が許される（ $z = T_{0}^{(1)}$ だけが $Δ m = 0$ ）。
球テンソルの $\pm 1$ 成分を $T_{\pm 1}^{(1)} = \frac{x \pm i y}{2}$ と符号を付けずに定義してしまう誤り。 $[L_{+}, z] = - ℏ (x + i y)$ と $[J_{+}, T_{0}^{(1)}] = 2 ℏ T_{+ 1}^{(1)}$ を合わせるには、正しくは $T_{+ 1}^{(1)} = - \frac{x + i y}{2}$ 、 $T_{- 1}^{(1)} = + \frac{x - i y}{2}$ 。選択則には影響しないが、行列要素の値や干渉の符号を誤る。
$x^{2}$ のような 2 次式を $k = 2$ だけと思い、 $k = 0$ の寄与（ $l^{'} = l$ 、 $m^{'} = m$ 、例えば $l = 0 \to l^{'} = 0$ ）を見落として禁止してしまう誤り。 $x^{2} = \frac{r ^{2}}{3} - \frac{3 z ^{2} - r ^{2}}{6} + \frac{( x + i y ) ^{2} + ( x - i y ) ^{2}}{4}$ は $k = 0$ の成分 $\frac{r ^{2}}{3}$ を含むので、正しくは $k = 0$ （ $l^{'} = l$ 、 $m^{'} = m$ ）と $k = 2$ の両方を調べる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
球面調和関数 $Y_{l}^{m} (θ, φ)$ （ $l = 0, 1, 2, \dots$ 、 $m = - l, \dots, l$ ）は正規直交系をなすとする。演算子 $\frac{( x + i y ) z}{r ^{2}} = sin θ cos θ e^{i φ}$ の角度部分の行列要素
$M_{l^{'} m^{'}} = \int Y_{l^{'}}^{m^{'}} (θ, φ)^{*} sin θ cos θ e^{i φ} Y_{1}^{0} (θ, φ) d Ω$
を考える（ $d Ω = sin θ d θ d φ$ 、積分は全立体角）。
ある $m^{'}$ に対して $M_{l^{'} m^{'}} \neq = 0$ となるような $l^{'}$ をすべて求め、集合で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（大学院入試の専門科目の標準レベル）
スピン $1/2$ の電子 1 個が、軌道角運動量量子数 $l = 2$ の状態（d 状態）にあるとする。動径部分は共通で、以下ではすべて $l = 2$ の 10 次元の状態空間の中で考える。\n\n $L$ と $S$ を合成した全角運動量 $J = L + S$ の固有状態を $∣ j, m ⟩$ （ $j = 5/2, 3/2$ ）と書く。 $∣ j, m ⟩$ は $∣ l = 2, m_{l} ⟩ \otimes ∣ s = 1/2, m_{s} ⟩$ から、コンドン・ショートレーの位相規約に従うクレブシュ・ゴルダン係数で作るものとする（合成の順序は $l \otimes s$ ）。\n\n $T_{0}^{(2)}$ を、軌道の自由度にだけ作用するエルミートなランク 2 の球テンソル演算子の $q = 0$ 成分とする（例: $3 z^{2} - r^{2}$ に比例する電気四重極演算子）。 $T_{0}^{(2)}$ はスピンには作用しない。また\n $Q = ⟨ l = 2, m_{l} = 2, m_{s} ∣ T_{0}^{(2)} ∣ l = 2, m_{l} = 2, m_{s} ⟩$ \nとおく（ $Q$ は実数で、 $m_{s}$ によらない）。\n\nこのとき\n $S = m = - 3/2 \sum 3/2 ⟨ j = \frac{3}{2}, m ∣ T_{0}^{(2)} ∣ j = \frac{5}{2}, m ⟩^{2}$ \nを $Q$ を用いて表せ。

この技能の次に学べること

ウィグナー・エッカルトの定理（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））