角運動量の合成と項記号

$L$ と $S$ から $J = ∣ L - S ∣, \dots, L + S$ のとりうる値を列挙し、準位を項記号 $^{2 S + 1} L_{J}$ で表したり、項記号から $S, L, J$ と縮退度 $2 J + 1$ を読み取れる

前提

電子殻と電子配置（高校化学物質の構成と化学結合）
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

この技能までの道筋（103 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

原子・分子と化学式（中学理科化学分野の用語と知識）
原子の構成と質量数（高校化学物質の構成と化学結合）
電子殻と電子配置（高校化学物質の構成と化学結合）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
行列式（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
固有値と固有ベクトル（大学数学線形代数）
音の伝わり方と大きさ・高さ（中学理科物理分野の用語と知識）
音の振動数と波形（中学理科光と音）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
分母の有理化（中学数学数と式）
乗法公式・分配法則を使う根号の式の展開（中学数学数と式）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
積と商の微分（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
広義積分（大学数学微分積分）
波動関数の規格化と確率解釈（大学物理量子力学（1 次元の問題））
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
演算子と期待値（大学物理量子力学（1 次元の問題））
内積となす角（数学C ベクトル）
内積空間とグラム・シュミットの直交化（大学数学線形代数）
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
角運動量の固有状態と昇降演算子（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
角運動量の合成とクレブシュ・ゴルダン係数（大学物理量子力学（角運動量・近似法））

説明

多電子原子の準位は、電子全体の軌道角運動量の量子数 $L$ 、全スピンの量子数 $S$ 、そして両者を合成した全角運動量の量子数 $J$ で分類されます。この技能では、 $L$ と $S$ から $J = ∣ L - S ∣, ∣ L - S ∣ + 1, \dots, L + S$ のとりうる値を列挙し、各準位を項記号 $^{2 S + 1} L_{J}$ で書き表します。逆に、 $^{3} P_{2}$ や $^{2} D_{3/2}$ のような項記号を見て $S, L, J$ と、その準位の縮退度 $2 J + 1$ を読み取れるようになります。原子のスペクトル線や微細構造、磁場中での分裂を議論するときの基本の言葉になります。

なぜそうしてよいのか

前提の技能で学んだように、大きさの量子数 $j_{1}, j_{2}$ の 2 つの角運動量を合成した $J = J_{1} + J_{2}$ の量子数は $J = ∣ j_{1} - j_{2} ∣, ∣ j_{1} - j_{2} ∣ + 1, \dots, j_{1} + j_{2}$ の値をとります。直観的には、2 本の「矢印」をそろえたとき最大 $j_{1} + j_{2}$ 、逆向きにしたとき最小 $∣ j_{1} - j_{2} ∣$ で、その間を $1$ ずつとびとびにとる、ということです。状態の数でも確かめられます：合成前の状態の数は $(2 j_{1} + 1) (2 j_{2} + 1)$ で、 $J = ∣ j_{1} - j_{2} ∣, \dots, j_{1} + j_{2}$ について $2 J + 1$ を足し合わせると同じ数になります。

原子では、まず電子たちの軌道角運動量を合成した全軌道角運動量 $L$ （量子数 $L = 0, 1, 2, \dots$ ）と、スピンを合成した全スピン $S$ （量子数 $S = 0, \frac{1}{2}, 1, \dots$ ）を考え、さらにそれらを合成して全角運動量 $J = L + S$ を作ります。したがって $J$ は上の規則で $j_{1} = L, j_{2} = S$ とした値 $J = ∣ L - S ∣, \dots, L + S$ をとり、 $J$ の値の個数は $2 min (L, S) + 1$ です。 $J$ が決まった準位は、 $J_{z}$ の固有値 $m_{J} ℏ$ （ $m_{J} = - J, \dots, J$ ）の違いで $2 J + 1$ 個の状態を含むので、縮退度は $2 J + 1$ です。

項記号 $^{2 S + 1} L_{J}$ は、これらの量子数をまとめて書く記法です。左上の数字 $2 S + 1$ は多重度と呼ばれ、 $S$ を表します（ $1$ なら一重項 $S = 0$ 、 $2$ なら二重項 $S = \frac{1}{2}$ 、 $3$ なら三重項 $S = 1$ ）。中央の大文字は $L$ を表し、 $L = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ をそれぞれ $S, P, D, F, G, H$ と書きます。右下の添字が $J$ です。 $J$ を省いた $^{2 S + 1} L$ は、同じ $L, S$ をもつ準位の集まり（項）を表し、項全体の状態の数は $(2 L + 1) (2 S + 1)$ です。

手順

項記号を読むときは、左上の数字から $S = \frac{( 多重度 ) - 1}{2}$ 、文字から $L$ （ $S, P, D, F, G, H \to 0, 1, 2, 3, 4, 5$ ）、右下から $J$ を読み取る
$L$ と $S$ から $J$ の最小値 $∣ L - S ∣$ と最大値 $L + S$ を求める
$J = ∣ L - S ∣, ∣ L - S ∣ + 1, \dots, L + S$ と $1$ ずつ列挙する（値の個数は $2 min (L, S) + 1$ ）
各準位を $^{2 S + 1} L_{J}$ と書く
必要なら各準位の縮退度 $2 J + 1$ を求め、その和が $(2 L + 1) (2 S + 1)$ に一致することで検算する

例題

原子の項 $^{4} D$ に属する準位の全角運動量の量子数 $J$ のとりうる値をすべて求めよ。

例題の解答

手順 1：多重度が $4$ なので $2 S + 1 = 4$ より $S = \frac{3}{2}$ 。文字 $D$ は $L = 2$ 。

手順 2： $J$ の最小値は $∣ L - S ∣ = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ 、最大値は $L + S = \frac{7}{2}$ 。

手順 3： $1$ ずつ並べて $J = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}$ （個数は $2 min (2, \frac{3}{2}) + 1 = 4$ ）。

手順 4：準位は $^{4} D_{1/2},^{4} D_{3/2},^{4} D_{5/2},^{4} D_{7/2}$ 。

手順 5（検算）：縮退度の和は $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ で、 $(2 L + 1) (2 S + 1) = 5 \times 4 = 20$ に一致する。

答え: ${\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2}, \frac{7}{2}}$

よくある誤り

左上の数字をそのまま $S$ と読んでしまう誤り（ $^{3} P$ を $S = 3$ とするなど）。左上は多重度 $2 S + 1$ なので、正しくは $^{3} P$ で $S = 1$ 。
$J$ をいつも $0$ や $\frac{1}{2}$ から数え始めてしまう誤り（ $^{3} D$ で $J = 0, 1, 2, 3$ とするなど）。最小値は $∣ L - S ∣$ なので、 $L = 2, S = 1$ では正しくは $J = 1, 2, 3$ 。
多重度 $2 S + 1$ がいつも準位（ $J$ の値）の個数に等しいとしてしまう誤り。 $J$ の個数は $2 min (L, S) + 1$ で、 $L < S$ のときは $2 L + 1$ 個。たとえば $^{2} S$ （ $L = 0, S = \frac{1}{2}$ ）は $J = \frac{1}{2}$ の 1 つだけ。
準位の縮退度を $2 L + 1$ や $2 S + 1$ としてしまう誤り。 $J$ が決まった準位の縮退度は $2 J + 1$ で、例えば $^{3} P_{2}$ は $5$ 重に縮退している。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
LS 結合が成り立つある原子で、項記号 $^{4} D$ で表される項（全軌道角運動量量子数 $L$ と全スピン量子数 $S$ が決まった状態の組）を考える。項記号は $^{2 S + 1} L_{J}$ の形で書き、 $L = 0, 1, 2, 3, \dots$ をそれぞれ $S, P, D, F, \dots$ で表す。全角運動量 $J = L + S$ の量子数 $J$ は $∣ L - S ∣$ から $L + S$ まで $1$ 刻みの値をとる。
この項が微細構造によって分かれてできる準位の $J$ の値をすべて求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

スピン軌道相互作用と微細構造（大学物理原子・分子物理とレーザー）
フントの規則と基底項（大学物理原子・分子物理とレーザー）
等価電子の LS 項（大学物理原子・分子物理とレーザー）
ランデの g 因子と異常ゼーマン効果（大学物理原子・分子物理とレーザー）