スピン軌道相互作用と微細構造

$L \cdot S = \frac{1}{2} [J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)]$ を使い、項 $A L \cdot S$ による各 $J$ 準位のエネルギーのずれと準位間隔（ランデの間隔則）を求められる

前提

角運動量の合成と項記号（大学物理原子・分子物理とレーザー）

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算数中学高校大学大学院

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角運動量の合成と項記号（大学物理原子・分子物理とレーザー）

説明

原子の中の電子は、軌道角運動量 $L$ とスピン $S$ が磁気的に相互作用するため、エネルギーに $A L \cdot S$ という項が加わります（スピン軌道相互作用。 $A$ は原子と項ごとに決まる定数）。この項のために、同じ $L$ , $S$ をもつ項 $^{2 S + 1} L$ が、全角運動量 $J$ の違ういくつかの準位にわずかに分かれます。これが微細構造です。この技能を使うと、各 $J$ 準位のエネルギーのずれと、隣り合う準位の間隔（ランデの間隔則 $Δ E = A J$ ）を計算できます。

なぜそうしてよいのか

ここでは角運動量を $ℏ$ を単位として測り（ $L^{2}$ の固有値を $L (L + 1)$ と書く）、 $ℏ^{2}$ は定数 $A$ に含めます。全角運動量は $J = L + S$ です。 $L$ は電子の空間的な運動に、 $S$ はスピンにはたらく演算子なので、互いに可換で $L \cdot S = S \cdot L$ です。したがって 2 乗を展開すると
$J^{2} = (L + S)^{2} = L^{2} + S^{2} + 2 L \cdot S, L \cdot S = \frac{1}{2} (J^{2} - L^{2} - S^{2})$
となります。 $L$ と $S$ を合成して $J$ が決まった状態（項記号 $^{2 S + 1} L_{J}$ の状態）は、 $J^{2}$ , $L^{2}$ , $S^{2}$ の同時固有状態なので、そこでは $L \cdot S$ も決まった値
$L \cdot S = \frac{1}{2} [J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)]$
をとります。よって準位 $^{2 S + 1} L_{J}$ のエネルギーのずれは $E_{J} = \frac{A}{2} [J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)]$ です。 $J_{z}$ の値 $M_{J}$ にはよらないので、各準位は $2 J + 1$ 重に縮退したままです。

同じ項の中で $J$ と $J - 1$ の準位の差をとると、 $L$ , $S$ の部分は打ち消し合い
$E_{J} - E_{J - 1} = \frac{A}{2} [J (J + 1) - (J - 1) J] = A J$
となります。つまり隣り合う準位の間隔は、上の準位の $J$ に比例します（ランデの間隔則）。たとえば $J = 0, 1, 2$ の 3 準位なら、間隔の比は $1 : 2$ です。また縮退度で重みをつけた平均 $\sum_{J} (2 J + 1) E_{J}$ は 0 になり、分裂の前のエネルギーが「重心」として保たれます。 $A > 0$ なら $J$ が大きいほどエネルギーが高く（正常な順序）、 $A < 0$ なら逆になります（逆転した多重項）。

手順

項記号から $L$ , $S$ を読み取り、とりうる $J = ∣ L - S ∣, ∣ L - S ∣ + 1, \dots, L + S$ を列挙する
各 $J$ について $L \cdot S = \frac{1}{2} [J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)]$ を計算する
定数 $A$ を掛けて各準位のずれ $E_{J} = A L \cdot S$ を求める
準位間隔は差をとるか、ランデの間隔則 $E_{J} - E_{J - 1} = A J$ を使って求める（離れた準位の差は間隔の和）
検算として、 $\sum_{J} (2 J + 1) E_{J} = 0$ になることを確かめる

例題

ある原子の $^{3} P$ 項が、スピン軌道相互作用 $A L \cdot S$ （ $A$ は定数で、角運動量は $ℏ$ を単位として測る）によって $J$ の異なる準位に分裂する。準位 $^{3} P_{2}$ のエネルギーから準位 $^{3} P_{0}$ のエネルギーを引いた差を、 $A$ を用いて表せ。

例題の解答

手順 1: $^{3} P$ は $2 S + 1 = 3$ より $S = 1$ 、 $P$ より $L = 1$ 。 $J = 0, 1, 2$ 。

手順 2: $L (L + 1) + S (S + 1) = 2 + 2 = 4$ なので
- $J = 2$ : $L \cdot S = \frac{1}{2} (6 - 4) = 1$
- $J = 1$ : $L \cdot S = \frac{1}{2} (2 - 4) = - 1$
- $J = 0$ : $L \cdot S = \frac{1}{2} (0 - 4) = - 2$

手順 3: $E_{2} = A$ , $E_{1} = - A$ , $E_{0} = - 2 A$ 。

手順 4: $E_{2} - E_{0} = A - (- 2 A) = 3 A$ 。間隔則で確かめると $E_{1} - E_{0} = A \cdot 1 = A$ , $E_{2} - E_{1} = A \cdot 2 = 2 A$ で、和は $3 A$ 。

手順 5（検算）: $1 \cdot (- 2 A) + 3 \cdot (- A) + 5 \cdot A = 0$ 。

答え: $3 A$

よくある誤り

係数 $\frac{1}{2}$ を落として $L \cdot S = J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)$ としてしまう誤り。 $J^{2} = L^{2} + S^{2} + 2 L \cdot S$ の $2$ を忘れないこと。正しくは $L \cdot S = \frac{1}{2} [J (J + 1) - L (L + 1) - S (S + 1)]$ 。
固有値に $J^{2}$ , $L^{2}$ , $S^{2}$ を使ってしまう誤り（ $\frac{1}{2} (J^{2} - L^{2} - S^{2})$ ）。正しくは $J^{2}$ の固有値は $J (J + 1)$ なので、 $^{3} P_{2}$ では $\frac{1}{2} (2 \cdot 3 - 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2) = 1$ （ $\frac{1}{2} (4 - 1 - 1) = 1$ と偶然一致する場合もあるが、 $^{3} P_{0}$ では $- 2$ と $- 1$ で食い違う）。
ランデの間隔則を下の準位の $J$ で使ってしまう誤り（ $E_{J} - E_{J - 1} = A (J - 1)$ ）。正しくは上の準位の $J$ を使い $E_{J} - E_{J - 1} = A J$ （ $^{3} P$ なら $E_{1} - E_{0} = A$ , $E_{2} - E_{1} = 2 A$ ）。
$J$ を $L + S$ と $∣ L - S ∣$ の 2 つだけとしてしまう誤り。正しくは $∣ L - S ∣$ から $L + S$ まで 1 刻みのすべての値で、 $^{3} P$ では $J = 0, 1, 2$ の 3 準位に分かれる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある原子の項 $^{3} D$ （全スピン量子数 $S = 1$ 、全軌道角運動量量子数 $L = 2$ ）が、スピン軌道相互作用
$H_{SO} = A L \cdot S$
によって全角運動量量子数 $J$ の異なる準位に分裂する。ここで $L$ , $S$ は $ℏ$ を単位とした角運動量演算子（ $ℏ = 1$ とする）で、 $A$ は定数である。 $H_{SO}$ による各準位のエネルギーのずれ $Δ E_{J}$ を、 $J = 1, 2, 3$ の順に組 $(Δ E_{1}, Δ E_{2}, Δ E_{3})$ として $A$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ディラック方程式の非相対論的極限（大学院物理発展的な量子力学（散乱・相対論的量子力学））