原子・分子物理とレーザーの問題

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子の、上の準位 ${}^3{D}_2$ から下の準位 ${}^3{P}_1$ への電気双極子遷移による発光線を考える。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置くと（異常ゼーマン効果）、各準位は磁気量子数 $M_J$ ごとに分裂し、エネルギーのずれは
$$\Delta E=g_J{\mu }_{\mathrm{B}}B{M}_J$$
で与えられる。ここで ${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子、$g_J$ はその準位のランデの $g$ 因子であり、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$、軌道の $g$ 因子は $g_l=1$ とする。磁場はスピン軌道相互作用による微細構造分裂に比べて十分弱く、各準位の $J$ はよい量子数のままであるとする。

遷移の選択則は $\Delta M_J=M_J^{\text{上}}-M_J^{\text{下}}=0,\pm 1$ とし、このうち $\Delta M_J=\pm 1$ の成分を $\sigma$ 成分とよぶ。$\sigma$ 成分として現れる光子のエネルギーの、磁場がないときの光子のエネルギーからのずれを ${\mu }_{\mathrm{B}}B$ を単位として表した値をすべて求め、集合で答えよ。

下の準位 $1$（縮退度 $g_1$）と上の準位 $2$（縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ で、原子の総数 $N$ は一定とし、準位 $1$, $2$ にある原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$（$N_1+N_2=N$）とする。原子は等方的な放射の中に置かれており、遷移に関わるのは次の 3 つの放射過程だけとする（無放射遷移や衝突などのほかの緩和は無視する）。

• 吸収: 単位時間あたり $B_{12}\rho N_1$ 個の原子が $1\to 2$ に遷移する
• 誘導放出: 単位時間あたり $B_{21}\rho N_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する
• 自然放出: 単位時間あたり $A_{21}{N}_2$ 個の原子が $2\to 1$ に遷移する

ここで $\rho$ は振動数 $\nu$ における放射の（単位振動数あたりの）エネルギー密度で、スペクトル線の幅の範囲では一定とみなす。係数 $A_{21}$, $B_{12}$, $B_{21}$ は原子に固有の定数で、その間の関係は、温度 $T$ の熱平衡状態（原子数の比がボルツマン分布 $\frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}{e}^{-h\nu /k_{\mathrm{B}}T}$ に従い、$\rho$ がプランクの放射式
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
で与えられる状態）で、任意の $T$ について上の 3 過程がつり合うことから決まるものとする（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

いま、原子に当てる放射は熱放射とは限らず、そのエネルギー密度を、正の実数 $n$（1 つのモードあたりの平均光子数）を用いて
$$\rho =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}n$$
と表す。原子集団が定常状態にあるとき、正味の吸収率 $B_{12}\rho N_1-B_{21}\rho N_2$ を $B_{12}\rho N$ で割った量 $\eta$（放射が非常に弱い極限 $n\to 0$ で $1$ になる量）を、$g_1$, $g_2$, $n$ を用いて表せ。

2 つのエネルギー準位 $1$（下の準位、縮退度 $g_1$）と $2$（上の準位、縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ である（$h$ はプランク定数、$\nu$ は遷移の振動数）。準位 $2$ から準位 $1$ への自然放出のアインシュタイン係数を $A_{21}$、吸収・誘導放出のアインシュタイン係数をそれぞれ $B_{12}$, $B_{21}$ とする。すなわち、振動数 $\nu$ でのスペクトルエネルギー密度が $\rho (\nu )$ の放射の中で、準位 $1$ の原子 1 個が単位時間あたりに吸収を起こす確率は $B_{12}\rho (\nu )$、準位 $2$ の原子 1 個が単位時間あたりに誘導放出・自然放出を起こす確率はそれぞれ $B_{21}\rho (\nu )$, $A_{21}$ である。

$B_{12}$, $B_{21}$ の値は与えない。アインシュタイン係数は原子に固有の定数で、放射の温度によらない。そのため、$B_{12}$, $B_{21}$ は、無放射遷移がない原子の集団が任意の温度の黒体放射と熱平衡にあるとき、原子数の分布がその温度のボルツマン分布になり、放射がプランクの式に従うという条件（アインシュタインの関係式）から、$A_{21}$ と $g_1,g_2,h,\nu ,c$ を用いて表せる。

いま、この原子の集団を温度 $T$ の黒体放射の中に置く。放射のスペクトルエネルギー密度はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。ただしこの原子は、放射との相互作用のほかに、衝突などによって準位 $2$ から準位 $1$ へ単位時間あたり確率 $\gamma$（$\gamma \ge 0$ の定数）で無放射遷移を起こす。無放射遷移による準位 $1$ から準位 $2$ への遷移は無視でき、原子は準位 $1$, $2$ 以外の状態をとらないものとする。また、遷移のスペクトル幅は $\rho (\nu )$ が変化する振動数の幅に比べて十分狭いものとする。

準位 $1$, $2$ の原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$ とするとき、定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を、$g_1,g_2,A_{21},\gamma ,h,\nu ,k_B,T$ を用いて表せ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つアルカリ原子の、上の準位 ${}^2{D}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=2$, $J=\frac{3}{2}$）から下の準位 ${}^2{P}_{3/2}$（$S=\frac{1}{2}$, $L=1$, $J=\frac{3}{2}$）への電気双極子遷移による発光線を考える。

この原子を磁束密度 $B$ の一様な静磁場の中に置く。磁場は弱く、ゼーマン分裂は微細構造の間隔よりも十分小さい（異常ゼーマン効果の領域）とする。このとき、各準位は磁気量子数 $M_J$ ごとに
$$\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$$
だけずれる。ここで ${\mu }_B$ はボーア磁子、$g_J$ はランデの $g$ 因子であり、電子スピンの $g$ 因子は $g_s=2$、軌道の $g$ 因子は $g_l=1$ とする。核スピンの影響は無視する。

遷移の選択則は $\Delta M_J=0,\pm 1$ であり、このうち $\Delta M_J=\pm 1$ の遷移で出る光を $\sigma$ 成分とよぶ。磁場がないときの光子のエネルギーを $h{\nu }_0$ として、$\sigma$ 成分の各スペクトル線の光子のエネルギーの変化 $h\nu -h{\nu }_0$ を ${\mu }_{B}B$ を単位として表した値をすべて求め、集合として答えよ。

LS 結合（ラッセル・ソンダース結合）が成り立つ原子のある準位は、全スピン量子数が $S=\frac{3}{2}$（4 重項）であることがわかっているが、全軌道角運動量量子数 $L$ と全角運動量量子数 $J$ はわかっていない。この原子を磁束密度の大きさ $B$ の一様な弱い磁場中に置いたところ（異常ゼーマン効果）、この準位は等間隔に並ぶ $4$ 本の副準位に分裂し、隣り合う副準位のエネルギー差は $\frac{2}{5}{\mu }_{B}B$ であった（${\mu }_B$ はボーア磁子）。

弱い磁場中での副準位のエネルギーのずれは $\Delta E=g_J{\mu }_{B}B{M}_J$（$M_J=-J,-J+1,\dots ,J$）で与えられ、ランデの g 因子は電子のスピン g 因子を $2$ として
$$g_J=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2J(J+1)}$$
とする。この準位の $L$ を求めよ。ただし $L$ は $0$ 以上の整数で、$J$ は $|L-S|\le J\le L+S$ を満たす。