原子・分子物理とレーザーの問題

2 つのエネルギー準位 $1$（下の準位、縮退度 $g_1$）と $2$（上の準位、縮退度 $g_2$）だけをもつ原子の集団を考える。2 準位のエネルギー差は $h\nu$ である（$h$ はプランク定数、$\nu$ は遷移の振動数）。準位 $2$ から準位 $1$ への自然放出のアインシュタイン係数を $A_{21}$、吸収・誘導放出のアインシュタイン係数をそれぞれ $B_{12}$, $B_{21}$ とする。すなわち、振動数 $\nu$ でのスペクトルエネルギー密度が $\rho (\nu )$ の放射の中で、準位 $1$ の原子 1 個が単位時間あたりに吸収を起こす確率は $B_{12}\rho (\nu )$、準位 $2$ の原子 1 個が単位時間あたりに誘導放出・自然放出を起こす確率はそれぞれ $B_{21}\rho (\nu )$, $A_{21}$ である。

$B_{12}$, $B_{21}$ の値は与えない。アインシュタイン係数は原子に固有の定数で、放射の温度によらない。そのため、$B_{12}$, $B_{21}$ は、無放射遷移がない原子の集団が任意の温度の黒体放射と熱平衡にあるとき、原子数の分布がその温度のボルツマン分布になり、放射がプランクの式に従うという条件（アインシュタインの関係式）から、$A_{21}$ と $g_1,g_2,h,\nu ,c$ を用いて表せる。

いま、この原子の集団を温度 $T$ の黒体放射の中に置く。放射のスペクトルエネルギー密度はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。ただしこの原子は、放射との相互作用のほかに、衝突などによって準位 $2$ から準位 $1$ へ単位時間あたり確率 $\gamma$（$\gamma \ge 0$ の定数）で無放射遷移を起こす。無放射遷移による準位 $1$ から準位 $2$ への遷移は無視でき、原子は準位 $1$, $2$ 以外の状態をとらないものとする。また、遷移のスペクトル幅は $\rho (\nu )$ が変化する振動数の幅に比べて十分狭いものとする。

準位 $1$, $2$ の原子数をそれぞれ $N_1$, $N_2$ とするとき、定常状態での比 $\frac{N_2}{N_1}$ を、$g_1,g_2,A_{21},\gamma ,h,\nu ,k_B,T$ を用いて表せ。

エネルギー差 $E_2-E_1=h\nu$ の 2 つの準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、絶対温度 $T$ の熱平衡にある黒体放射の中に置かれている。放射のエネルギー密度のスペクトル（単位体積・単位振動数あたり）はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}\right)-1}$$
で与えられるとする。準位 2 にある 1 個の原子が単位時間あたりに自然放出を起こす確率を $A_{21}$、誘導放出を起こす確率を $B_{21}\rho (\nu )$ とし、アインシュタイン係数の間には
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$
の関係があるものとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数である。

遷移の波長（真空中）を $\lambda$ とする。準位 2 の原子について、誘導放出の確率と自然放出の確率がちょうど等しくなる温度 $T$ を、$h$, $c$, $k_{\mathrm{B}}$, $\lambda$ を用いて表せ。

アルカリ原子の価電子 1 個が $p$ 軌道（軌道角運動量量子数 $l=1$、スピン量子数 $s=\frac{1}{2}$）にある励起状態（項 ${}^{2}P$）を考える。閉殻の電子と原子核のスピンの影響は無視し、この項の中の 6 個の状態だけを考える。この原子を $z$ 軸の正の向きの、磁束密度の大きさ $B$（$B\ge 0$）の一様な磁場の中に置く。項の中でのハミルトニアンは、項の重心のエネルギーを $0$ として
$$H=\frac{A}{{\hslash }^2}\mathbf{L}\cdot \mathbf{S}+\frac{{\mu }_{\mathrm{B}}B}{\hslash }\left(L_z+2S_z\right)$$
で与えられるとする。ここで $\mathbf{L}$, $\mathbf{S}$ は電子の軌道角運動量とスピン角運動量の演算子、$A>0$ はスピン軌道相互作用の定数、${\mu }_{\mathrm{B}}$ はボーア磁子であり、電子スピンの $g$ 因子は $2$ とした。反磁性の項など、これ以外の相互作用は無視する。

弱い磁場の極限ではゼーマン分裂、強い磁場の極限ではパッシェン・バック効果になるが、ここでは $B$ の大きさを限定しない。全角運動量の $z$ 成分の量子数が $M_J=m_l+m_s=+\frac{1}{2}$ である 2 つのエネルギー固有状態のエネルギーの差（高いほうから低いほうを引いたもの）を、$A$, ${\mu }_{\mathrm{B}}$, $B$ を用いて表せ。

ヘリウム・ネオンレーザーの波長 ${\lambda }_0=632.8\text{nm}$ の発振を考える。共振器は、反射率（光の強度に対する反射率）$R_1=0.998$, $R_2=0.982$ の 2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.500\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー共振器で、その中に長さ $l=0.400\text{m}$ の放電管（利得媒質）が置かれている。共振器内の屈折率はすべて $1$ とし、鏡の透過以外の損失（吸収・散乱・回折など）は無視する。

利得媒質の小信号利得係数 $g(\nu )$ は、光の強度が媒質中を距離 $z$ 進むと $e^{g(\nu )z}$ 倍になるように定義し、ネオン原子の熱運動によるドップラー広がりで決まるガウス型
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_D{)}^2}\right]$$
で表されるものとする。ここで ${\nu }_0=c/{\lambda }_0$ は線の中心振動数、$g_0=0.100{\text{m}}^{-1}$ は中心での利得係数、$\Delta {\nu }_D$ は半値全幅（ドップラー幅）で、温度 $T$、原子の質量 $M$ の気体では
$$\Delta {\nu }_D={\nu }_0\sqrt{\frac{8k_{B}T\log 2}{M{c}^2}}$$
である。ネオン原子の質量を $M=20.18\text{u}$（$1\text{u}=1.661\times 10^{-27}\text{kg}$）、放電管内の気体の温度を $T=400\text{K}$、ボルツマン定数を $k_B=1.381\times 10^{-23}\text{J/K}$、真空中の光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器の縦モードのうち 1 つの振動数がちょうど ${\nu }_0$ に一致しているものとする。また、利得は不均一広がりなので、各縦モードはそれぞれの振動数での小信号利得が往復の損失を上回れば（すなわち、1 往復での強度の増幅率が $1$ を超えれば）独立に発振するものとし、横モードは基本モードだけを考える。このとき発振する縦モードの数を求めよ。

異核 2 原子分子の振動回転スペクトルを考える。電子状態は ${}^1\Sigma$ の基底状態のままとし、振動量子数 $v$、回転量子数 $J$（$J=0,1,2,\dots$）の準位のエネルギーを波数単位で
$$\frac{E(v,J)}{hc}=G(v)+B_{v}J(J+1)$$
と表す。ここで $G(v)$ は振動のエネルギー（波数単位）、$B_v$ は振動状態 $v$ での回転定数であり、遠心力ひずみの項は無視する。

振動の基本帯 $v=0\to v=1$ の吸収では、選択則 $\Delta J=\pm 1$ に従い、下の準位の回転量子数を $J$ として、$\Delta J=+1$ の線を $R(J)$、$\Delta J=-1$ の線を $P(J)$ と書く。測定の結果、次の 4 本の線の波数が得られた。
$$R(0)=2416.30{\text{cm}}^{-1},R(1)=2432.10{\text{cm}}^{-1},P(1)=2383.20{\text{cm}}^{-1},P(2)=2365.90{\text{cm}}^{-1}$$

これらのデータから $B_0$ と $B_1$ を決め、$R$ 枝の線の波数が $J$ の関数として最大になる（バンドヘッドができる）ときの下の準位の回転量子数 $J$ を求めよ。ただし $J$ は 0 以上の整数とする。