レート方程式と反転分布

準位の占有数のレート方程式を立てて定常状態の $N_{2} / N_{1}$ や時間変化を求め、2 準位・3 準位・4 準位系で反転分布 $N_{2} / g_{2} > N_{1} / g_{1}$ が実現できる条件を判定できる

前提

アインシュタインの A・B 係数（大学物理原子・分子物理とレーザー）
1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

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算数中学高校大学大学院

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1 階線形微分方程式（大学数学微分方程式）

説明

原子の各エネルギー準位にいる原子の数（占有数） $N_{1}, N_{2}, \dots$ が、吸収・自然放出・誘導放出・ポンピング（外部からの励起）・緩和によってどう増減するかを、「単位時間あたりの流入 − 流出」の形の微分方程式（レート方程式）で書き表します。これを解くと、定常状態の占有数の比 $N_{2} / N_{1}$ や、占有数が定常値に近づく時間変化が求められます。さらに、レーザー発振に必要な反転分布 $N_{2} / g_{2} > N_{1} / g_{1}$ （ $g_{1}, g_{2}$ は縮退度）が 2 準位・3 準位・4 準位系で実現できるかどうかを判定できます。

なぜそうしてよいのか

準位 $i$ の占有数 $N_{i}$ の変化の速さ $\frac{d N _{i}}{d t}$ は、「単位時間に準位 $i$ に入ってくる原子の数」から「単位時間に準位 $i$ から出ていく原子の数」を引いたものです。各過程の単位時間あたりの数は、出発する準位の占有数に比例します。たとえばエネルギー密度 $ρ$ の光があると、上の準位 2 から下の準位 1 への遷移は自然放出 $A_{21} N_{2}$ と誘導放出 $B_{21} ρ N_{2}$ 、1 から 2 への遷移は吸収 $B_{12} ρ N_{1}$ です。準位 2 から出ていく分は準位 1 に入るので、原子の総数 $N = N_{1} + N_{2} + \dots$ は一定に保たれます。定常状態では $\frac{d N _{i}}{d t} = 0$ とおけば占有数の比が代数的に決まり、時間変化は 1 階線形微分方程式として解けます。

2 準位系を光（エネルギー密度 $ρ$ ）だけで励起する場合を考えます。 $\frac{d N _{2}}{d t} = B_{12} ρ N_{1} - B_{21} ρ N_{2} - A_{21} N_{2}$ で、定常状態では $\frac{N _{2}}{N _{1}} = \frac{B _{12} ρ}{B _{21} ρ + A _{21}}$ です。アインシュタインの関係 $g_{1} B_{12} = g_{2} B_{21}$ を使うと $\frac{N _{2} / g _{2}}{N _{1} / g _{1}} = \frac{B _{21} ρ}{B _{21} ρ + A _{21}} < 1$ となります。 $ρ$ をどれほど大きくしても右辺は 1 に近づくだけで 1 を超えません。光を強くすると吸収と同じだけ誘導放出も増えるからです。したがって 2 準位系では反転分布は定常的に作れません。

そこで、反転させたい 2 つの準位とは別の準位を使います。3 準位系では、基底準位 1 から上の準位 3 へポンピングし、準位 3 から準位 2 へすばやく緩和させます。準位 2 から 1 へは自然放出でゆっくり戻るので、準位 2 に原子がたまります。ただし下の準位 1 が基底準位なので、反転させるには全原子のおよそ半分以上を準位 2 に移す必要があり、強いポンピングが要ります。4 準位系では、レーザーの下の準位 1 が基底準位 0 の上にあり、準位 1 から準位 0 へすばやく緩和するので $N_{1} \approx 0$ です。このため準位 2 に少しでも原子が入れば反転分布になり、弱いポンピングで足ります。

手順

考える準位と、その間の過程（ポンピング、吸収・誘導放出、自然放出、すばやい緩和）を矢印で図に書き出す。速さ $W$ （単位 $s^{- 1}$ ）の過程が準位 $i$ から出ていく数は $W N_{i}$ とする
各準位について「 $\frac{d N _{i}}{d t} =$ （流入の和） $-$ （流出の和）」を書く。例: $\frac{d N _{2}}{d t} = W_{p} N_{1} - A_{21} N_{2}$
原子の総数の保存 $N_{1} + N_{2} + \dots = N$ と、問題の近似（すばやく緩和する準位の占有数を $0$ とみなす、など）を使って未知数を減らす
定常状態なら $\frac{d N _{i}}{d t} = 0$ とおいて $N_{2} / N_{1}$ などを求める。時間変化なら 1 階線形微分方程式 $\frac{d N _{2}}{d t} + k N_{2} = c$ を初期条件のもとで解く
反転分布の条件 $\frac{N _{2}}{g _{2}} > \frac{N _{1}}{g _{1}}$ 、すなわち $\frac{N _{2}}{N _{1}} > \frac{g _{2}}{g _{1}}$ に代入して、ポンピングの速さなどの条件を求める

例題

準位 1（基底準位、縮退度 $g_{1} = 2$ ）、準位 2（縮退度 $g_{2} = 4$ ）、準位 3 からなる 3 準位系を考える。準位 1 の原子はポンピングにより単位時間あたり $W_{p} N_{1}$ 個の割合で準位 3 へ励起され、準位 3 の原子はただちに準位 2 へ緩和する（準位 3 の占有数は $N_{3} = 0$ とみなす）。準位 2 の原子は自然放出だけで準位 1 へ戻り、準位 2 の寿命は $τ = 2.0 ms$ （ $A_{21} = 1/ τ$ ）である。誘導放出と、それ以外の過程は無視する。定常状態で反転分布 $N_{2} / g_{2} > N_{1} / g_{1}$ が実現するための $W_{p}$ の条件は $W_{p} > W_{th}$ の形に書ける。 $W_{th}$ を $s^{- 1}$ 単位の整数で求めよ。

例題の解答

手順 1: 過程は「1 → 3（ポンピング、 $W_{p} N_{1}$ ）」「3 → 2（すばやい緩和）」「2 → 1（自然放出、 $A_{21} N_{2} = N_{2} / τ$ ）」の 3 つです。

手順 2・3: $N_{3} = 0$ なので、準位 1 から準位 3 へ励起された原子はそのまま準位 2 に入ると考えてよく、準位 2 への流入は $W_{p} N_{1}$ です。よって
$\frac{d N _{2}}{d t} = W_{p} N_{1} - \frac{N _{2}}{τ}$

手順 4: 定常状態では $\frac{d N _{2}}{d t} = 0$ なので $W_{p} N_{1} = \frac{N _{2}}{τ}$ 、すなわち
$\frac{N _{2}}{N _{1}} = W_{p} τ$

手順 5: 反転分布の条件は $\frac{N _{2}}{N _{1}} > \frac{g _{2}}{g _{1}} = \frac{4}{2} = 2$ なので、 $W_{p} τ > 2$ 、つまり
$W_{p} > \frac{2}{τ} = \frac{2}{2.0 \times 1 0 ^{- 3} s} = 1000 s^{- 1}$
よって $W_{th} = 1000 s^{- 1}$ です。

答え: $1000$

よくある誤り

縮退度を無視して $N_{2} > N_{1}$ を反転分布の条件としてしまう誤り。正しくは 1 状態あたりの占有数で比べ、 $\frac{N _{2}}{g _{2}} > \frac{N _{1}}{g _{1}}$ 、すなわち $\frac{N _{2}}{N _{1}} > \frac{g _{2}}{g _{1}}$ である（例題では $g_{2} / g_{1} = 2$ なので、 $N_{2} > N_{1}$ だけでは足りない）
2 準位系で誘導放出を書き忘れ、 $\frac{d N _{2}}{d t} = B_{12} ρ N_{1} - A_{21} N_{2}$ から「 $ρ$ を大きくすれば $N_{2} / N_{1} = B_{12} ρ / A_{21}$ がいくらでも大きくなり反転する」としてしまう誤り。正しくは $- B_{21} ρ N_{2}$ も入り、 $\frac{N _{2} / g _{2}}{N _{1} / g _{1}} = \frac{B _{21} ρ}{B _{21} ρ + A _{21}} < 1$ なので反転しない
流入だけ、または流出だけを書いてしまう誤り。準位 2 から 1 への自然放出は $\frac{d N _{2}}{d t}$ に $- A_{21} N_{2}$ 、 $\frac{d N _{1}}{d t}$ に $+ A_{21} N_{2}$ として両方に入り、 $\frac{d}{d t} (N_{1} + N_{2} + \dots) = 0$ となる
時間変化を解くとき $N_{1}$ を定数のまま扱ってしまう誤り。 $N_{1} = N - N_{2}$ （ $N_{3} = 0$ のとき）を代入して $\frac{d N _{2}}{d t} + (W_{p} + \frac{1}{τ}) N_{2} = W_{p} N$ とし、 $N_{2} (0) = 0$ なら $N_{2} (t) = \frac{W _{p} N}{W _{p} + 1/ τ} (1 - e^{- (W_{p} + 1/ τ) t})$ となる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
4 準位レーザー媒質を考える。基底準位 $0$ の原子は、一定の速さ $R$ （単位体積・単位時間あたりの原子数）でポンプ準位 $3$ に励起され、準位 $3$ からただちに上準位 $2$ へ緩和する。上準位 $2$ の原子は寿命 $τ_{2} = 230 μ s$ で、すべて下準位 $1$ へ自然に緩和し、下準位 $1$ の原子は寿命 $τ_{1} = 0.10 μ s$ で基底準位 $0$ へ緩和する。準位 $2$ , $1$ の単位体積あたりの原子数を $N_{2}$ , $N_{1}$ とし、レート方程式
$\frac{d N _{2}}{d t} = R - \frac{N _{2}}{τ _{2}}, \frac{d N _{1}}{d t} = \frac{N _{2}}{τ _{2}} - \frac{N _{1}}{τ _{1}}$
が成り立つとする（誘導放出・吸収は無視する）。定常状態での比 $\frac{N _{2}}{N _{1}}$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

レーザーの発振条件と発振モード数（大学物理原子・分子物理とレーザー）