原子・分子物理とレーザーの問題

エネルギー差 $E_2-E_1=h\nu$ の 2 つの準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、絶対温度 $T$ の熱平衡にある黒体放射の中に置かれている。放射のエネルギー密度のスペクトル（単位体積・単位振動数あたり）はプランクの式
$$\rho (\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{\exp \left(\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}\right)-1}$$
で与えられるとする。準位 2 にある 1 個の原子が単位時間あたりに自然放出を起こす確率を $A_{21}$、誘導放出を起こす確率を $B_{21}\rho (\nu )$ とし、アインシュタイン係数の間には
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}$$
の関係があるものとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数である。

遷移の波長（真空中）を $\lambda$ とする。準位 2 の原子について、誘導放出の確率と自然放出の確率がちょうど等しくなる温度 $T$ を、$h$, $c$, $k_{\mathrm{B}}$, $\lambda$ を用いて表せ。

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。

エネルギー差 $h\nu$ の 2 準位（下の準位 1、上の準位 2）をもつ原子の集団が、温度 $T$ の黒体放射と熱平衡にある。黒体放射のエネルギー密度（単位振動数あたり）はプランクの式
$$u(\nu )=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\cdot \frac{1}{e^{h\nu /k_{B}T}-1}$$
で与えられる（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。上の準位の原子 1 個あたり、単位時間に自然放出が起こる確率は $A_{21}$、誘導放出が起こる確率は $B_{21}u(\nu )$ であり、アインシュタイン係数の間には
$$A_{21}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}{B}_{21}$$
の関係がある。

$\frac{h\nu }{k_{B}T}=\log 3$ のとき、上の準位の原子が単位時間に自然放出を起こす確率は、誘導放出を起こす確率の何倍か。

長さ $L=0.50\text{m}$ の 2 枚の平面鏡からなるファブリ・ペロー型の光共振器（受動共振器、内部は真空で屈折率 $1$）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=0.99$, $R_2=0.98$ であり、鏡での透過以外の損失（回折損失・吸収など）はないものとする。光速を $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、1 往復（所要時間 $\frac{2L}{c}$）ごとに $R_1{R}_2$ 倍になる。これを連続的な指数関数的減衰 $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ とみなし、光子寿命 ${\tau }_c$ を
$$e^{-2L/(c{\tau }_c)}=R_1{R}_2$$
で定める。このとき共振器の各縦モードのスペクトルはローレンツ型となり、その半値全幅（線幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられる。

縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ を MHz 単位で、有効数字 2 桁で求めよ。

曲率半径 $R_1=R_2=0.60\text{m}$ の 2 枚の凹面鏡を、間隔 $L=0.30\text{m}$ で向かい合わせた対称な光共振器を考える。内部は真空（屈折率 $1$）とし、光速は $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

この共振器のエルミート・ガウスモード ${\mathrm{TEM}}_{mnq}$（$m,n=0,1,2,\dots$ は横モード次数、$q$ は正の整数の縦モード次数）の共振周波数は、
$${\nu }_{mnq}=\frac{c}{2L}\left[q+\frac{m+n+1}{\pi }\arccos \sqrt{g_1{g}_2}\right],g_i=1-\frac{L}{R_i}(i=1,2)$$
で与えられるものとする。

ある基本モード ${\mathrm{TEM}}_{00q}$ の共振周波数 ${\nu }_{00q}$ に着目する。すべてのモード（横モード・縦モードの次数を問わない）の共振周波数のうち、${\nu }_{00q}$ より高く、かつ ${\nu }_{00q}$ に最も近いものと ${\nu }_{00q}$ との差を、$\text{MHz}$ 単位で、分数を用いて正確に求めよ。ただし $q$ は十分大きいものとする。