原子・分子物理とレーザーの問題

原子核の電荷が $Ze$（$Z$ は正の整数）で、電子を 1 個だけもつ水素様イオンの発光スペクトルを真空中で観測した。下の準位の主量子数が共通の値 $n^{\prime }$（正の整数）であるひとつのスペクトル系列に属する線のうち、波長が最も長い線の波長は ${\lambda }_1=450.2\text{nm}$、2 番目に長い線の波長は ${\lambda }_2=291.7\text{nm}$ であった。

波数はリュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=Z^{2}R\left(\frac{1}{n^{\prime 2}}-\frac{1}{n^2}\right)(n=n^{\prime }+1,n^{\prime }+2,\dots )$$
で与えられるものとし、リュードベリ定数は $R=1.097\times 10^7{\text{m}}^{-1}$ とする（原子核の運動による補正、微細構造は無視する）。

この系列の下の準位の主量子数 $n^{\prime }$ と原子核の電荷数 $Z$ を、この順に組 $(n^{\prime },Z)$ で求めよ。

気体レーザーの媒質中の 2 つの準位（下の準位 $1$、縮退度 $g_1$；上の準位 $2$、縮退度 $g_2$）の間の遷移で発振するレーザーを考える。この遷移について次のように与える。

• 遷移の中心波長は真空中で $\lambda =632.8\text{nm}$、媒質の屈折率は $1$ とする
• 準位 $2\to 1$ の自然放出のアインシュタイン A 係数は $A_{21}=3.40\times 10^6{\text{s}}^{-1}$
• 遷移の規格化された線形関数 $g(\nu )$（${\int }_0^{\infty }g(\nu )d\nu =1$）の中心振動数 ${\nu }_0$ での値は $g({\nu }_0)=6.00\times 10^{-10}\text{s}$

アインシュタインの B 係数は、放射の単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度 $\rho (\nu )$ に対して定義されたものとし、関係式
$$\frac{A_{21}}{B_{21}}=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3},g_1{B}_{12}=g_2{B}_{21}$$
を用いてよい（$h$ はプランク定数、$c$ は真空中の光速）。

この媒質（長さ $l=0.400\text{m}$）が、強度反射率 $R_1=1.000$ と $R_2=0.980$ の 2 枚の鏡からなる共振器の内部全体を満たしている。鏡での反射損失以外の損失（散乱・吸収・回折など）は無視し、光は振動数 ${\nu }_0$ で共振器軸に沿って往復するものとする。また、レーザー光の強度は小さく、準位の占有数密度は光によって変化しない（小信号近似）とする。

上の準位と下の準位の単位体積あたりの原子数をそれぞれ $N_2$, $N_1$ とするとき、発振が起こるために必要な反転分布 $\Delta N=N_2-\frac{g_2}{g_1}{N}_1$ のしきい値を、単位 ${\text{m}}^{-3}$ で有効数字 3 桁で求めよ。

水素原子の発光スペクトルの波長 $\lambda$ は、リュードベリ定数を $R$ として、リュードベリの式
$$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}\right)(m,n\text{は正の整数},n>m)$$
で表されるものとする。ここで $m$ は遷移の下の準位、$n$ は上の準位の主量子数である。下の準位 $m$ を固定し、上の準位 $n$ を $n=m+1,m+2,\dots$ と変えて得られる一連の線をひとまとまりのスペクトル系列とよぶ（$m=1$ がライマン系列、$m=2$ がバルマー系列）。

下の準位が $m$ である系列について、その系列で最も長い波長 ${\lambda }_{\max }$ と、$n\to \infty$ の極限で線が集まる系列限界の波長 ${\lambda }_{\infty }$ の比 $\frac{{\lambda }_{\max }}{{\lambda }_{\infty }}$ を、$m$ を用いて表せ。

真空中に置かれた長さ $L=0.25\text{m}$ のファブリ・ペロー型光共振器（2 枚の平面鏡を向かい合わせたもの）を考える。鏡の強度反射率はそれぞれ $R_1=1.00$, $R_2=0.96$ で、共振器内では鏡の透過による損失のほかに損失はなく、利得媒質もない（受動共振器）とする。光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。

共振器内の光の強度は、往復時間 $t_{\mathrm{r}}=\frac{2L}{c}$ ごとに $R_1{R}_2$ 倍になり、時間について連続的に指数関数的に減衰するとみなす。すなわち強度を $I(t)=I_0{e}^{-t/{\tau }_c}$ と書き、$e^{-t_{\mathrm{r}}/{\tau }_c}=R_1{R}_2$ により光子寿命 ${\tau }_c$ を定める。共振器モードの線幅（周波数の半値全幅）は $\Delta {\nu }_c=\frac{1}{2\pi {\tau }_c}$ で与えられるものとする。

この共振器の 1 つの縦モードの線幅 $\Delta {\nu }_c$ は何 MHz か。有効数字 2 桁で求めよ。

2 枚の平面鏡を間隔 $L=0.300\text{m}$ で向かい合わせたファブリ・ペロー型共振器の中に、長さ $l=0.200\text{m}$ の利得媒質を置いたガスレーザーを考える。共振器内の屈折率はどこでも $1$ とみなし、光速を $c=3.00\times 10^8\text{m/s}$ とする。鏡の強度反射率は一方が $R_1=1.00$、他方（出力鏡）が $R_2=0.90$ であり、鏡での反射以外の損失（散乱・吸収・回折）は無視する。横モードは基本モード（${\text{TEM}}_{00}$）だけを考える。

利得媒質の小信号利得係数（強度について、単位長さあたり）は、ドップラー広がりによって周波数 $\nu$ の関数として
$$g(\nu )=g_0\exp \left[-4\log 2\frac{(\nu -{\nu }_0{)}^2}{(\Delta {\nu }_{\text{D}}{)}^2}\right]$$
と表されるとする。ここで ${\nu }_0$ は利得の中心周波数、$\Delta {\nu }_{\text{D}}=1.60\text{GHz}$ は利得曲線の半値全幅であり、中心での値は $g_{0}l=0.210$ である。また、縦モードの 1 つが周波数 ${\nu }_0$ にちょうど一致しているものとする。必要なら $\log 0.90=-0.105$ を用いてよい。

共振器を 1 往復する間の小信号利得（媒質を 2 回通る）が鏡の反射による損失を上回る、すなわち $R_1{R}_2{e}^{2g(\nu )l}>1$ を満たす縦モードの数を求めよ。